Determina, se esistono, i valori di a e b per cui le funzioni date sono derivabili nel loro dominio. Suggerimento prima calcola la continuità. Spiega i passaggi!
Una funzione è continua in un intorno topologico se
\[\lim_{x\to 1^{-}}f(x) = f(1) = \lim_{x\to 1^{+}}f(x) \implies b = 2 = 2 \implies b = 2\,.\]
Per la derivabilità:
\[\frac{d^{-}}{dx}f(x) = \frac{d^{-}}{dx}(a\log{x} + bx) = \frac{a}{x} + b \:\Bigg|_{x = 1} = a + b\]
\[\frac{d^{+}}{dx}f(x) = \frac{d^{+}}{dx}(x^2 + \frac{1}{x}) = 2x - \frac{1}{x^2} \:\Bigg|_{x = 1} = 1\,;\]
allora
\[f'(1^{-}) = f'(1^{+}) \iff a + b = 1 \:\Bigg|_{\substack{b = 2}} \implies a = -1\,.\]
Funzione definita a tratti:
y=
{ a·LN(x) + b·x per 0 < x < 1
{x^2 + 1/x per x ≥ 1
Punto di raccordo: x=1
La funzione in esso vale:
y = 1^2 + 1/1----> y = 2
La sua derivata:
y ' = 2·x - 1/x^2
in esso vale:
2·1 - 1/1^2 = 1
I limiti della prima componente per x--->1-:
LIM(a·LN(x) + b·x) = b
x--> 1-
della sua derivata: ( a/x + b )
LIM(a/x + b)= a + b
x--> 1-
Quindi per assicurare la continuità e la derivabilità :
{b=2
{a+b =1
che risolto fornisce: a = -1 ∧ b = 2