[Risolto] PUNTI DI NON DERIVABILITA'

Una funzione è continua in un intorno topologico se

\[\lim_{x\to 1^{-}}f(x) = f(1) = \lim_{x\to 1^{+}}f(x) \implies b = 2 = 2 \implies b = 2\,.\] 

Per la derivabilità:

\[\frac{d^{-}}{dx}f(x) = \frac{d^{-}}{dx}(a\log{x} + bx) = \frac{a}{x} + b \:\Bigg|_{x = 1} = a + b\]

\[\frac{d^{+}}{dx}f(x) = \frac{d^{+}}{dx}(x^2 + \frac{1}{x}) = 2x - \frac{1}{x^2} \:\Bigg|_{x = 1} = 1\,;\]

allora

\[f'(1^{-}) = f'(1^{+}) \iff a + b = 1 \:\Bigg|_{\substack{b = 2}} \implies a = -1\,.\]

Funzione definita a tratti:

y=

{ a·LN(x) + b·x   per 0 < x < 1

{x^2 + 1/x    per x ≥ 1

Punto di raccordo: x=1

La funzione in esso vale:

y = 1^2 + 1/1----> y = 2

La sua derivata:

y ' = 2·x - 1/x^2

in esso vale:

2·1 - 1/1^2 = 1

I limiti della prima componente per x--->1-:

LIM(a·LN(x) + b·x) = b

x--> 1-

della sua derivata: ( a/x + b )

LIM(a/x + b)= a + b

x--> 1-

Quindi per assicurare la continuità e la derivabilità :

{b=2

{a+b =1

che risolto fornisce: a = -1 ∧ b = 2