Data la funzione $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^x-1 & x<0 \\ a x^2+b x+c & x \geq 0\end{array}\right.$, determina $a, b$ e $c$ in modo che la funzione sia derivabile due volte in R. Traccia il grafico della funzione in corrispondenza dei valori di $a, b$ e $c$ trovati. $\quad\left[a=\frac{1}{2}, b=1, c=0\right]$
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Livello 2
* f(x) = (x < 0) & (a(x) = e^x - 1) oppure (x >= 0) & (b(x) = a*x^2 + b*x + c)
All'ascissa di giunzione dei due rami, x = 0, devono essere eguali i valori delle funzioni e delle due prime derivate dei rami.
Si tratta perciò di quattro derivate, sei valutazioni, un sistema di tre equazioni in {a, b, c}.
* {a, b} = {e^x - 1, a*x^2 + b*x + c}; {a, b}|x = 0 = {0, c}
* {a', b'} = {e^x, 2*a*x + b}; {a', b'}|x = 0 = {1, b}
* {a'', b''} = {e^x, 2*a}; {a'', b''}|x = 0 = {1, 2*a}
da cui
* f(x) = (x < 0) & (a(x) = e^x - 1) oppure (x >= 0) & (b(x) = x^2/2 + x)
Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=piecewise%5B%7B%7Be%5Ex-1%2Cx%3C0%7D%2C%7Bx%5E2%2F2--x%2Cx%3E%3D0%7D%7D%5D
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Genius I
