Punti di accumulazione

Question

[attach]108068[/attach] [attach]108069[/attach] Spiegare e argomentare.

cmc · Accepted Answer

La presenza del termine (-1)ⁿ ci suggerisce di spezzare l'insieme A in due parti. Il sottoinsieme $A_{p}$ per n pari e $A_{d}$ per n dispari.

$A_{p}^{'} = {x \in ℝ : \frac{2 n}{n + 2}; n \in ℕ} = {x \in ℝ : 2 - \frac{4}{n + 2}; n \in ℕ}$

Si tratta di provare che esiste un elemento della soluzione in ( 2-δ, 2 - 4/(n+2)). Illustrato dal grafico

__2-δ_______2-4/(n+2)_________2

ovvero

2-δ < 2- 4/(n+2) < 2

La seconda disequazione è banale, rimane da provare

$2 - δ < 2 - \frac{4}{n + 2}$

$- δ < - \frac{4}{n + 2}$

$δ > \frac{4}{n + 2}$

$n + 2 > \frac{4}{δ}$

$n > \frac{4}{δ} - 2$

La proprietà archimedea dei numeri reali ci assicura che un tale numero naturale esiste.

Analogamente si procede per n dispari

$A_{d}^{'} = {x \in ℝ : - \frac{2 n}{n + 2}; n \in ℕ} = {x \in ℝ : \frac{4}{n + 2} - 2; n \in ℕ}$

trovando che

$A_{d}^{'} = - 2$

Conclusione. A' = ± 2.

cmc

(@cmc)

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15/03/2025 22:27