Prova di verifica

Tralasciando che hai violato il regolamento (non farlo, i moderatori sono molto tristi quando non segui le regole), passiamo alla risoluzione degli esercizi (mi scuso in anticipo per la lunghezza):

1)

$f(x)= \frac{\sqrt{x}}{5-x}$

Il dominio della funzione si può trovare escludendo tutti i valori per cui $5-x = 0$ e per cui $x < 0$, quindi mettiamo a sistema le condizioni opposte:

$\begin{equation} \begin{cases} 5-x \neq 0 \\ x \geq 0 \end{cases} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{cases} x \neq 5 \\ x \geq 0 \end{cases} \end{equation}$

Formalmente, indicando con $D$ il dominio, scriviamo che $D=\{x \in \mathbb{R} | x \geq 0\}-\{5\}$

(in italiano abbiamo detto che il dominio è l'insieme di tutti i numeri reali maggiori o uguali a 0 tranne il numero 5).

Per trovare le intersezioni con gli assi, dobbiamo pensare che l'ordinata nell'asse delle $x$ è sempre 0, mentre nell'intersezione con l'asse delle ordinate, l'ascissa è sempre 0, ciò si può vedere ricordando la definizione delle soluzioni di un sistema, ovvero che la soluzione di un sistema è il punto di intersezione di tutte le rette che hanno le equazioni considerate nel sistema, l'asse $x$ ha equazione $y=0$, mentre l'asse $y$ ha equazione $x=0$, perché tutti i punti sull'asse $x$ hanno ordinata 0 e tutti i punti sull'asse $y$ hanno ascissa 0, quindi con un sistema:

$\begin{equation} \begin{cases} x=0 \\ y=\frac{\sqrt{x}}{5-x} \end{cases} \end{equation}$ 

Sostituiamo $x=0$ nella seconda equazione:

$y= \frac{\sqrt{0}}{5-0}=\frac{0}{5}=0$

quindi la soluzione al sistema è la coppia $(x,y) = (0,0)$, quindi questo è il punto di intersezione con l'asse delle ordinate. Non c'è bisogno di costruire un sistema ogni volta, lo ho fatto solo per spiegare perché si fanno altri procedimenti più corti, basterebbe semplicemente calcolare $f(0)$. Mentre per trovare il punto di intersezione con l'asse delle ascisse basta calcolare $f^{-1}(0)$, noi però sappiamo che $f(0)=0$, quindi $f^{-1}(0)=0$. Con il sistema si vede lo stesso:

$\begin{equation} \begin{cases} y=0 \\ y=\frac{\sqrt{x}}{5-x} \end{cases} \end{equation}$ 

$\begin{equation} \begin{cases} y=0 \\ \frac{\sqrt{x}}{5-x} = 0 \end{cases} \end{equation}$ 

$\frac{\sqrt{x}}{5-x} = 0$

$x = 0$

La soluzione è quindi $(x,y) = (0,0)$.

Per studiare il segno, si definiscono talvolta $I.P.$ e $I.N.$ che sarebbero "insieme di positività ed insieme di negatività, in altre parole $I.P. = \{x \in D | f(x) >0\}$ mentre $I.N. = \{x \in D | f(x) <0\}$, ovvero gli insieme di valori di $x$ per cui la funzione è positiva e quelli per cui la funzione è negativa. Si possono risolvere 2 disequazioni separatamente:

$f(x)>0$ e $f(x) <0$, tuttavia non è necessario, perché risolvendo $f(x) \geq 0$, trovo tutti i valori di $x$ che NON appartengono all'insieme di negatività (quindi trovo l'insieme di positività e gli zeri), quindi posso scindere tutti gli insiemi sapendo che $I.N.$ è il resto di valori che non verifica la disequazione, nel nostro caso:

$f(x) \geq 0 \implies \frac{\sqrt{x}}{5-x}= \geq 0$

Nota che il numeratore è sempre positivo o nullo, per la definizione di radicale (tranne se $x$ non si trova nel dominio della nostra funzione, escludiamo 5 anche se è un valore valido per il denominatore, ma non lo è per il denominatore), allora $N \geq 0 \implies x \in D \implies x > 0 \land x \neq 5$, quindi preoccupiamoci di studiare il denominatore:

$D_n > 0 \implies 5-x > 0 \implies x <5 \implies x \in D \land x < 5$.

Per risolvere graficamente:

L'insieme delle soluzioni è quindi $S= \{ x \in D | 0 \leq x <5\}$. L'insieme delle soluzioni è $I.P$ + l'insieme degli zeri della funzione, quindi l'insieme di valori per cui la funzione è positiva o nulla, quindi se la funzione non è né positiva né nulla la funzione è negativa, quindi scriviamo $I.N. = \neg S$ oppure $I.N. = \{x \in D | x > 5\}$ oppure se non vogliamo usare la sigla $I.N.$ è valido: $f(x)<0 \implies x \in D | x > 5$. Per trovare l'insieme $I.P.$ basta escludere da $S$ l'insieme degli zeri, si vede dal grafico che l'unico zero della funzione è $x=0$, quindi $I.P. = S-\{0\}$  oppure $f(x) > 0 \implies  0 < x < 5$.

2) Avevo già approfondito il concetto di funzioni invertibili e funzioni inverse in una tua altra domanda, però lo riprenderemo brevemente:

Sono funzioni invertibili tutte le funzioni biunivoche, ovvero tutte le funzioni che sono iniettive e suriettive allo stesso tempo, per verificare che una funzione sia biunivoca si deve dimostrare contemporaneamente la sua iniettività e suriettività. Vediamo se la funzione è iniettiva:

$f(x)= \frac{1}{x-2} -3$, per dimostrare algebricamente che la funzione sia iniettiva si parte dall'equazione $x_1=x_2$ e si deve dimostrare che $f(x_1)=f(x_2)$, quindi dobbiamo riscrivere il testo di $f(x)$ a destra e a sinistra usando i principi di equivalenza a partire da $x_1=x_2$, quindi:

$x_1=x_2$

$x_1-2=x_2-2$

$\frac{1}{x_1-2}= \frac{1}{x_2-2}$

$\frac{1}{x_1-2} -3 = \frac{1}{x_2-2} -3$

$f(x_1)=f(x_2)$ 

Abbiamo appurato che la funzione è iniettiva. Per verificare che la funzione sia suriettiva si deve avere che $Im(f) = B$, tuttavia il testo non definisce il codominio $B$, quindi si suppone che tale condizione sia verificata. A questo punto invertiamo la funzione, ovvero da $y=f(x)$ passiamo a $x=g(y)$, $g(y)$ sarà la nostra funzione inversa rispetto a $f(x)$, si indica tradizionalmente con $f^{-1}(y)$.

$ \frac{1}{x-2} -3=y$

$1-3(x-2)=y(x-2)$

$1-3x+6=xy-2y$

$1+2y=xy+3x$

$2y+1=x(y+3)$

$x=\frac{2y+1}{y+3}$.

Questa qui è la nostra funzione inversa, per convenzione si scrive che $f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x+3}$ perché la variabile indipendente si indica con $x$, ma l'$x$ dell'ultimo passaggio e l'$x$ di $f^{-1}(x)$ non sono la stessa cosa, infatti il secondo sarebbe il nostro $y$.

3)

Allora, nota che la prima funzione $y=|x+1|$, se diciamo $|x|=f(x)$, possiamo riscrivere $y=f(x+1)+0$, questa seconda equazione è l'espressione di una trasformazione geometrica di traslazione dove $a=-1$ e $b=0$, possiamo dedurre quindi che questa qui è una semplice traslazione della funzione del valore assoluto di una unità a sinistra

(le due funzioni a confronto, in blu il grafico della funzione)

La seconda funzione invece si può riscrivere come $y= f(x-0) -2$, anche questa è similare all'equazione di una traslazione, qui $a=0,\ b = -2$, quindi questa equazione ha il vertice del valore assoluto nel punto $(0,-2)$.

(tutte le funzioni a confronto, in viola il grafico della seconda funzione)

4)

Una funzione si dice pari quando si verifica (per $x$ appartenente al suo dominio) che $f(x)=f(-x)$, dispari quando $f(x)=-f(-x)$ quando nessuna delle due condizioni si verifica la funzione non è né peri né dispari, quindi verifichiamo con la prima funzione:

$\sqrt[3]{2-x^2}=\sqrt[3]{2-(-x)^2}$

$2-x^2= 2-x^2$

$0x=0$

La funzione è pari (quindi non è dispari) perché questa equazione è indeterminata, ciò significa che ogni numero reale verifica questa equazione. Vediamo la seconda funzione:

$y=3x^6-2x^4$

vediamo se è pari:

$3x^6-2x^4=3(-x)^6-2(-x)^4$

$3x^5-2x^4=3x^6-2x^4$

$0x=0$

Anche questa è un'equazione indeterminata, quindi anche questa funzione è pari.

5)

$f(x)=\sqrt{x}$,  $g(x)=x^2-1$

Per la definizione di funzioni composte:

$f \circ g = f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1},\ g \circ f = g(f(x))=g(\sqrt{x})=\sqrt{x}^2 -1$

Vediamo il dominio di $f \circ g$, chiaramente deve esistere il radicale, quindi poniamo $x^2-1 \geq 0$, da cui $x \leq -1 \lor x \geq 1$, quindi $D_{f \circ g}=\{x \in R | x \leq -1 \lor x \geq 1\}$, mentre nel caso di $g \circ f$ la situazione è un po' ambigua, perché se io inserisco la funzione in un calcolatore grafico, il calcolatore non semplifica il quadrato con la radice quadrata, perché tecnicamente non si può fare, tuttavia si sarebbe potuto semplificare se fosse $\sqrt{x^2}= |x|$, nel nostro caso quindi dobbiamo comunque imporre la condizione di esistenza sul radicale, ovvero $x \geq 0$, quindi $D_{g \circ f} = \{x \in R | x \geq 0\}$.

6)

Per verificare la parità delle funzioni graficamente dobbiamo sapere che una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, mentre una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine. Si vede chiaramente che la prima funzione è pari (quella in rosso), la funzione verde (la seconda) non è né pari né dispari, perché il punto di simmetria è il punto di intersezione con l'asse delle ordinate e non l'intero asse, mentre la terza è chiaramente dispari.

7) Manca l'esercizio D:

Ok! Questo è quanto, mi dispiace ancora per la lunghezza della risposta, ma voglio (come sempre) cercare di essere il più chiaro possibile, esprimi le tue perplessità nei commenti, proverò a chiarire tutto!

Si prega di mettere un solo esercizio per volta come da REGOLAMENTO.