[Risolto] Proiezione ortogonale

Sia $V$ uno spazio vettoriale euclideo e sia $W$ un sottospazio affine di $V$ con direzione $D$. Sia $v \in V$ un punto qualsiasi. Allora, la proiezione ortogonale di $v$ su $W$ è il punto $p \in W$ che minimizza la distanza euclidea tra $v$ e i punti di $W$, ovvero:

p = $\operatorname{proj}$W(v) =$ \arg\min{w\in W}$ |v-w|

Per dimostrare la proprietà di minimo, supponiamo per assurdo che esista un punto $q \in W$ diverso da $p$ tale che $|v-q| < |v-p|$. Sia $d$ la distanza tra il punto $v$ e il sottospazio affine $W$. Allora, per la definizione di proiezione ortogonale, abbiamo che $p$ è il punto di $W$ più vicino a $v$, ovvero $\operatorname{dist}(v, W) = |v-p|$.

Poiché $q$ e $p$ sono entrambi punti di $W$, possiamo scrivere:

$$
\begin{aligned}
|v-q| &= |v-p+p-q| \
&\leq |v-p| + |p-q| \
&< |v-p| + |v-q| - |p-q|
\end{aligned}
$$

dove l'ultima disuguaglianza segue dall'ipotesi che $|v-q| < |v-p|$. Spostando il termine $|v-q|$ a sinistra e $|p-q|$ a destra, otteniamo:

$$
|v-q| - |v-p| < -|p-q|
$$

Poiché $|v-q| - |v-p| < 0$, possiamo dividere entrambi i membri per questo valore e cambiare il segno dell'ineguaglianza:

$$
\frac{|v-q| - |v-p|}{|v-q| - |v-p|} > \frac{|p-q|}{|v-q| - |v-p|}
$$

Semplificando, otteniamo:

$$
1 > \frac{|p-q|}{|v-q| - |v-p|}
$$

Poiché entrambi i membri dell'ineguaglianza sono positivi, possiamo elevare al quadrato:

$$
1 > \frac{|p-q|^2}{(|v-q| - |v-p|)^2}
$$

Sostituendo l'ipotesi iniziale $|v-q| < |v-p|$ nella seconda parte del denominatore, otteniamo:

$$
1 > \frac{|p-q|^2}{(-|p-q|)^2} = -1
$$

Il che è assurdo, quindi l'ipotesi che esista un punto $q$ diverso da $p$ tale che $|v-q| < |v-p|$ deve essere falsa. Pertanto, la distanza minima tra $v$ e i punti di $W$ è raggiunta solo nel punto $p = \operatorname{proj}_W(v)$, come volevamo dimostrare.