Ti viene offerto un lavoro per il mese di luglio sotto le seguenti particolari condizioni: il primo giorno verrai pagato 1 centesimo, il secondo 2 centesimi, il terzo 4 centesimi, e così via: ogni giorno ti viene pagato il doppio del giorno precedente. Ti sembra un'opportunità di lavoro interessante? Alla fine del mese quanto avrai guadagnato?
[10 737418,23 euro]
176
punti
Livello 1
Il primo di luglio sia il giorno d'indice zero e l'ultimo quello d'indice trenta.
Il giorno d'indice k ricevi 2^k centesimi (in binario, un uno seguito da k zeri).
Alla fine del mese hai ricevuto un valore binario che è una sfilza di 31 uni: uno di meno di 2^31.
Σ [k = 0, 30] 2^k = 2^31 - 1 = 2147483647 c€ = 21474836.47 €
NOTA
Il risultato atteso (2^30 - 1 c€) è errato: il testo dice LUGLIO, 31 giorni!
57171
punti
Genius I
Sia $\alpha$ il guadagno mensile:
\[\alpha = 0,01 \cdot (2^{31} - 1) = 21.474.836,47\,.\]
C'è un errore nel testo o nel risultato, in quanto
\[\alpha = 0,01 \cdot (2^{x} - 1) \mid \alpha = 10.737.418,23 \implies x = \log_{2}{\left(\frac{10.737.418,23}{0,01} + 1\right)} = 30\,.\]
3531
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Livello 5
1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(31 - 1) = 2^31 - 1 centesimi = 21 474 836.47 euro
perché se 1 + 2 + ... + 2^30 = S
allora 2 + 4 + ... + 2^31 = 2S
1 + 2 + ... + 2^30 + 2^31 = 2S + 1
S + 2^31 = 2S + 1
2S - S = S = 2^31 - 1
Nota : Luglio ha 31 giorni per cui la paga al giorno k, 2^(k-1), va da 2^0 a 2^30.
45534
punti
Livello 7
c’è un errore nel testo, al posto di luglio dovevano mettere giugno se vogliono quel risultato lì
$1-2^{30}/1-2=10737418.23$ euro
6698
punti
Livello 6
