Progressioni geometriche

a

a·q

a·q^2

a·q^3

sono i 4 termini della progressione con q > 1

{a·(1 + q + q^2 + q^3) = 370

{a·(1 + q) = 37

Dalla seconda: a = 37/(q + 1) per sostituzione nella prima:

37/(q + 1)·(1 + q + q^2 + q^3) = 370

(1 + q + q^2 + q^3)/(q + 1) = 10

q^2 + 1 = 10----> q = -3 ∨ q = 3

Trovata la ragione q, trovo i quattro termini:

a = 37/(3 + 1)

a = 37/4

37/4·3 = 111/4

111/4·3 = 333/4

333/4·3 = 999/4

L'enunciato del problema corrisponde a

ao + ao q + ao q^2 + ao q^3 = 370

ao + ao q = 37

può essere riscritto come

ao (1 - q^4)/(1 - q) = 370

ao (1 - q^2)/(1 - q) = 37

dividendo

(1 + q^2) = 10

q^2 = 9

q = 3 per avere progressione geometrica crescente

ao (1 + 3) = 37

ao = 37/4

i numeri sono

37/4, 37/4*3, 37/4*3^2, 37/4*3^3

37/4, 11/4, 333/4, 999/4

Progressione geometrica
* (a(0) = A) & (a(k + 1) = r*a(k)) ≡ a(k) = A*r^k
* s(n) = Σ [k = 0, n] a(k) = ((r^(n + 1) - 1)/(r - 1))*A
Esercizio xx6
Dati: s(3) = 370; s(1) = 37; si chiede la testa della {a(k)}.
Risoluzione
* (((r^(1 + 1) - 1)/(r - 1))*A = 37) & (((r^(3 + 1) - 1)/(r - 1))*A = 370) ≡
≡ (A = - 37/2) & (r = - 3) oppure (A = 37/4) & (r = 3)
da cui due possibili successioni che soddisfanno alle specifiche.
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1) a(k) = (- 37/2)*(- 3)^k: {- 37/2, 111/2, - 333/2, 999/2, - 2997/2, 8991/2, ...}
* - 37/2 + 111/2 - 333/2 + 999/2 = 370
* - 37/2 + 111/2 = 37
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2) a(k) = (37/4)*3^k: {37/4, 111/4, 333/4, 999/4, 2997/4, 8991/4, ...}
* 37/4 + 111/4 + 333/4 + 999/4 = 370
* 37/4 + 111/4 = 37
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Conclusione
Il risultato atteso ("37/4, 111/4, 333/4, 999/4") è quello che corrisponde alla progressione crescente, non a quella alternante.