Progressioni 4

Posso svolgere solo questo

(k - 16)/k = k/(k + 24)

perché la ragione q, rapporto di due termini consecutivi, deve essere

costante. Allora (k - 16)(k + 24) = k^2

k^2 + 24 k - 16 k - 384 - k^2 = 0

8k = 384

k = 48

a1 = 48 + 24 = 72

q = 32/48 = 2/3

a8 = a1 q^7 = 72 * 2^7/3^7 = 2^3 * 3^2 * 2^7/3^7 = 2^10/3^5 = 1024/243

26) Progressione geometrica: a(n) = A*r^n (rapporto costante); a(7) è l'ottavo.
* (k - 16)/k = k/(k + 24) ≡ k = 48
da cui
* (k + 24, k, k - 16) = (72, 48, 32)
* (A*r^(n - 1) = 72) & (A*r^n = 48) & (A*r^(n + 1) = 32) & (r*A != 0) ≡
≡ (A != 0) & (r = 2/3) & (n = ln(A/48)/ln(3/2))
* a(7) = A*(2/3)^7 = (128/2187)*A
---------------
* A = 72 → n = 1
* A = 48 → n = 0
* A = 32 → n = - 1
* [...]
Il risultato atteso, a(7) = 1024/243, vuol dire A = 72.
------------------------------
26) Progressione aritmetica: a(n) = A + n*d (differenza costante).
* a = 5*x/2
* b = 5*(8 - x)/2
* c = 5*8 - (5*x/2 + 5*(8 - x)/2) = 20
* c - b = b - a ≡
≡ (20 - 5*(8 - x)/2 = 5*(8 - x)/2 - 5*x/2) & (x > 0) ≡ x = 8/3
------------------------------
34) La successione citata ha termine generico la differenza dei quadrati di due pari consecutivi, cioè il quadruplo del dispari intermedio
* (2*(k + 1))^2 - (2*k)^2 = 4*(2*k + 1)
---------------
a) a(n) = 4*(2*n + 1)
---------------
b) Per dimostrare che la differenza non dipende dall'indice basta calcolarla
* d = a(n + 1) - a(n) = 4*(2*(n + 1) + 1) - 4*(2*n + 1) = 8
---------------
c) s(n) = Σ [k = 0, n - 1] (A + k*d) = n*A + (n*(n - 1)/2)*d
per d = 8 si ha
* s(n) = n*A + 4*n*(n - 1)
Il risultato atteso, s(n) = 4*n*(n + 2), vuol dire A = 12.
------------------------------
36) Perdere il 12% dell'energia, vuol dire che ne restano (100 - 12)/100 = 22/25.
Quindi la progressione geometrica h(k) = H*r^k si specializza in
a) h(k) = H*(22/25)^k ≡ (h(0) = H) & (h(k + 1) = (22/25)*h(k))
---------------
b) L'altezza "dopo il quinto rimbalzo" è h(5) = H*(22/25)^5
nel caso in cui sia H = 150 cm si ha
* h(5) = 150*(22/25)^5 = 30921792/390625 ~= 79.15978752 ~= 79 cm
---------------
c) L'altezza "dopo il sesto rimbalzo" è h(6) = H*(22/25)^6 = 93 cm ≡
≡ H = 22705078125/113379904 ~= 200.2566 ~= 200 cm = 2 m