Progressioni 3

26) Progressione geometrica: a(n) = A*r^n (rapporto costante); a(7) è l'ottavo.
* (k - 16)/k = k/(k + 24) ≡ k = 48
da cui
* (k + 24, k, k - 16) = (72, 48, 32)
* (A*r^(n - 1) = 72) & (A*r^n = 48) & (A*r^(n + 1) = 32) & (r*A != 0) ≡
≡ (A != 0) & (r = 2/3) & (n = ln(A/48)/ln(3/2))
* a(7) = A*(2/3)^7 = (128/2187)*A
---------------
* A = 72 → n = 1
* A = 48 → n = 0
* A = 32 → n = - 1
* [...]
Il risultato atteso, a(7) = 1024/243, vuol dire A = 72.
------------------------------
26) Progressione aritmetica: a(n) = A + n*d (differenza costante).
* a = 5*x/2
* b = 5*(8 - x)/2
* c = 5*8 - (5*x/2 + 5*(8 - x)/2) = 20
* c - b = b - a ≡
≡ (20 - 5*(8 - x)/2 = 5*(8 - x)/2 - 5*x/2) & (x > 0) ≡ x = 8/3
------------------------------
34) La successione citata ha termine generico la differenza dei quadrati di due pari consecutivi, cioè il quadruplo del dispari intermedio
* (2*(k + 1))^2 - (2*k)^2 = 4*(2*k + 1)
---------------
a) a(n) = 4*(2*n + 1)
---------------
b) Per dimostrare che la differenza non dipende dall'indice basta calcolarla
* d = a(n + 1) - a(n) = 4*(2*(n + 1) + 1) - 4*(2*n + 1) = 8
---------------
c) s(n) = Σ [k = 0, n - 1] (A + k*d) = n*A + (n*(n - 1)/2)*d
per d = 8 si ha
* s(n) = n*A + 4*n*(n - 1)
Il risultato atteso, s(n) = 4*n*(n + 2), vuol dire A = 12.
------------------------------
36) Perdere il 12% dell'energia, vuol dire che ne restano (100 - 12)/100 = 22/25.
Quindi la progressione geometrica h(k) = H*r^k si specializza in
a) h(k) = H*(22/25)^k ≡ (h(0) = H) & (h(k + 1) = (22/25)*h(k))
---------------
b) L'altezza "dopo il quinto rimbalzo" è h(5) = H*(22/25)^5
nel caso in cui sia H = 150 cm si ha
* h(5) = 150*(22/25)^5 = 30921792/390625 ~= 79.15978752 ~= 79 cm
---------------
c) L'altezza "dopo il sesto rimbalzo" è h(6) = H*(22/25)^6 = 93 cm ≡
≡ H = 22705078125/113379904 ~= 200.2566 ~= 200 cm = 2 m

a)

h = ho*0,88^n

b)

h' = 1,5*0,88^5 = 0,792 m 

c)

0,93 = h''*0,88^6 

h'' = 0,93/(0,88^6) = 2,00 m 

a)

h1 = ho - 12/100 ho;

h1 = ho * (1 - 12/100);

h2 = h1 * (1 - 12/100) =  ho * (1- 12/100) * (1 - 12/100);

h2 = ho * (1 - 12/100) ^ 2;

........

hn = ho * (1 - 12/100)^n; legge per l'altezza raggiunta dopo il  rimbalzo ennesimo;

b)  ho = 1,5 m;

altezza dopo il 5° rimbalzo:

h5 = 1,5 * (1 - 0,12)^5;

h5 = 1,5 * 0,88^5 = 1,5 * 0,528 = 0,79 m;

h5 = 79 cm.

c) h6 = 93 cm; altezza dopo il 6° rimbalzo;

93 = ho * (1 - 0,12)^6;

ho = 93 / 0,88^6 ;

ho  = 93 / 0,464 = 2,0 m, altezza iniziale.

@bjo  ciao

=========================================================

a) $h_n= h_0\left(1-\frac{12}{100}\right)^n = h_0\left(\frac{22}{25}\right)^n.$

b) Altezza al 5° rimbalzo $h_5=1,5\left(1-\frac{12}{100}\right)^5 ·10^2 \approx{79}\,cm.$

c) Altezza iniziale:

$h_0\left(1-\frac{12}{100}\right)^6 = 93·10^{-2}$

$0,4644h_0 = 0,93$

$h_0= \dfrac{0,93}{0,4644}$

$h_0= 2\,m$