Considera la seguente successione:
$$
4^2-2^2, 6^2-4^2, 8^2-6^2, 10^2-8^2, \ldots
$$
a. Deduci un'espressione per il termine generale $a_n$.
b. Dimostra che i termini di tale successione sono in progressione aritmetica.
c. Calcola la somma dei primi $n$ termini consecutivi.
[a) $a_n=[2(n+1)]^2-(2 n)^2=4(2 n+1) ;$ b) $d=8 ;$ c) $\left.S_n=4 n(n+2)\right]$
salve a tutti per favore, potreste aiutarmi con questo problema sulle progressioni che non riesco a svolgerlo?
5
punti
Livello 0
26) Progressione geometrica: a(n) = A*r^n (rapporto costante); a(7) è l'ottavo.
* (k - 16)/k = k/(k + 24) ≡ k = 48
da cui
* (k + 24, k, k - 16) = (72, 48, 32)
* (A*r^(n - 1) = 72) & (A*r^n = 48) & (A*r^(n + 1) = 32) & (r*A != 0) ≡
≡ (A != 0) & (r = 2/3) & (n = ln(A/48)/ln(3/2))
* a(7) = A*(2/3)^7 = (128/2187)*A
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* A = 72 → n = 1
* A = 48 → n = 0
* A = 32 → n = - 1
* [...]
Il risultato atteso, a(7) = 1024/243, vuol dire A = 72.
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26) Progressione aritmetica: a(n) = A + n*d (differenza costante).
* a = 5*x/2
* b = 5*(8 - x)/2
* c = 5*8 - (5*x/2 + 5*(8 - x)/2) = 20
* c - b = b - a ≡
≡ (20 - 5*(8 - x)/2 = 5*(8 - x)/2 - 5*x/2) & (x > 0) ≡ x = 8/3
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34) La successione citata ha termine generico la differenza dei quadrati di due pari consecutivi, cioè il quadruplo del dispari intermedio
* (2*(k + 1))^2 - (2*k)^2 = 4*(2*k + 1)
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a) a(n) = 4*(2*n + 1)
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b) Per dimostrare che la differenza non dipende dall'indice basta calcolarla
* d = a(n + 1) - a(n) = 4*(2*(n + 1) + 1) - 4*(2*n + 1) = 8
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c) s(n) = Σ [k = 0, n - 1] (A + k*d) = n*A + (n*(n - 1)/2)*d
per d = 8 si ha
* s(n) = n*A + 4*n*(n - 1)
Il risultato atteso, s(n) = 4*n*(n + 2), vuol dire A = 12.
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36) Perdere il 12% dell'energia, vuol dire che ne restano (100 - 12)/100 = 22/25.
Quindi la progressione geometrica h(k) = H*r^k si specializza in
a) h(k) = H*(22/25)^k ≡ (h(0) = H) & (h(k + 1) = (22/25)*h(k))
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b) L'altezza "dopo il quinto rimbalzo" è h(5) = H*(22/25)^5
nel caso in cui sia H = 150 cm si ha
* h(5) = 150*(22/25)^5 = 30921792/390625 ~= 79.15978752 ~= 79 cm
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c) L'altezza "dopo il sesto rimbalzo" è h(6) = H*(22/25)^6 = 93 cm ≡
≡ H = 22705078125/113379904 ~= 200.2566 ~= 200 cm = 2 m
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Genius I
Il secondo é il quadrato del doppio di n
il primo é il successivo pari al quadrato
a(n) = (2n+2)^2 - (2n)^2 = 4n^2 + 8n + 4 - 4n^2 = 8n + 4 = 4(2n + 1)
b) 8n + 4 é una progressione aritmetica in cui a0 = 4 e d = 8
infatti 8(n+1) + 4 - 8n - 4 = 8n + 8 - 8n = 8
c) la somma dei primi n termini é
8 n(n+1)/2 + 4n = 4n^2 + 4n + 4n = 4n(n+2)
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Livello 7
