[Risolto] Prodotto scalare esercizio 38

Se $\textbf{u},\textbf{v}\in \textbf{V}^{n}$ sono due vettori di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita $n\ge 1$ e $\textbf{u} \neq 0$, si dice proiezione ortogonale di $\textbf{v}$ su $\textbf{u}$ il vettore definito nel modo seguente

$\dfrac{\left\langle \textbf{u},\textbf{v} \right\rangle}{\left\langle \textbf{u},\textbf{u} \right\rangle}\textbf{u}$

dove il numero reale $\dfrac{\left\langle \textbf{u},\textbf{v} \right\rangle}{\left\langle \textbf{u},\textbf{u} \right\rangle}$ è detto coefficiente di Fourier di $\textbf{v}$ rispetto a $\textbf{u}$.

Secondo questa definizione, la proiezione ortogonale di $\textbf{b}$ lungo $\textbf{a}$ è il vettore:

$\dfrac{\left\langle \textbf{a},\textbf{b} \right\rangle}{\left\langle \textbf{a},\textbf{a} \right\rangle}\textbf{a}$

cioè

$\dfrac{\left\langle \textbf{a},\textbf{b} \right\rangle}{\left\langle \textbf{a},\textbf{a} \right\rangle}\textbf{a} = \| \textbf{b}\| \ \text{cos}(\textbf{a},\textbf{b}) \dfrac{\textbf{a}}{\| \textbf{a}\|}$

il cui modulo è proprio $ \| \textbf{b}\| \ \text{cos}(\textbf{a},\textbf{b})$.

Siccome $\left\langle \textbf{a} , \textbf{b}\right\rangle = 19,0$ e $\| \textbf{a} \| = 7,0$ allora si ha

$\left\langle \textbf{a}, \textbf{b}\right\rangle = \|\textbf{a}\|\|\textbf{b}\| \ \text{cos}(\textbf{a},\textbf{b}) \Rightarrow \|\textbf{b}\| \ \text{cos}(\textbf{a},\textbf{b}) = \dfrac{\left\langle \textbf{a},\textbf{b} \right\rangle}{\| \textbf{a}\|} = 2,7 \ \text{cm}$

Tuttavia, le informazioni in nostro possesso non ci permettono di dedurre il modulo di $\textbf{b}$.

19/7 = 2.714

è la componente richiesta.

Il modulo di b non si può determinare

la componente richiesta vale 19/7 = 2,71

Il modulo di b non è univocamente determinabile