[Risolto] Problema fisica

Prima di iniziare un qualsiasi calcolo occorre una massiccia riformulazione del testo alla luce del fatto che il problema è un evidente esercizio scolastico sulla cinematica del punto materiale alla fine del paragrafo "Moto parabolico".
«La velocità iniziale di un proiettile è di 80 m/s» deve diventare «Un punto materiale è lanciato con velocità V = 80 m/s», perché: 1) il moto dei proiettili non è parabolico; 2) a meno che per proiettile non s'intenda il sasso finito in fronte a Golia, 80 m/s è una velocità ridicola rispetto agli 823 m/s di un proiettile M33 lanciato da un McMillan Tac-50; perciò è molto meglio dire "punto materiale" e non "proiettile" quando si parla di cinematica del punto materiale; un bersaglio a 450 metri si raggiunge anche col fuciletto del tirassegno, o quasi: col McMillan di cui sopra nel 2017 un cecchino canadese in Iraq uccise un bersaglio da 3540 metri.
Testo riformulato
Un punto materiale lanciato con velocità V = 80 m/s e alzo θ da determinare deve colpire un punto di pari quota a 450 metri. Si chiede il minimo tempo di volo fra il tiro teso e il tiro a mortaio.
Ripasso di teoria
Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
Risoluzione
Il tempo di volo T > 0 e l'alzo θ per la gittata di L metri si ricavano dal sistema
* (x(T) = L) & (y(T) = 0) & (T > 0) & (- π/2 <= θ <= π/2) ≡
≡ (80*cos(θ)*T = 450) & ((80*sin(θ) - 4.903325*T)*T = 0) & (T > 0) & (- π/2 <= θ <= π/2)
di cui WolframAlpha dà le soluzioni approssimate (quelle simboliche sono da incubo)
* (T, θ) ~= (6.0581, 0.38042 ~= 21° 47' 47'') ~= (6.1, 21° 48') tiro teso
oppure
* (T, θ) ~= (15.149, 1.19038 ~= 68° 12' 14'') ~= (15.1, 68° 12') tiro a mortaio
Risoluzione alternativa
* c = cos(θ)
* s = sin(θ)
* c^2 + s^2 = 1
* 80*cos(θ)*T = 450 ≡ T = 45/(8*c)
* (80*sin(θ) - 4.903325*T)*T = 0 ≡ (80*s - 4.903325*45/(8*c))*45/(8*c) = 0
* ((80*s - 4.903325*45/(8*c))*45/(8*c) = 0) & (c^2 + s^2 = 1) & (0 < arcsin(s) < π/2) ≡
≡ (c, s) ~= (0.37131, 0.928509) →
→ arccos(0.37131) ~= 1.1903768, arcsin(0.928509) ~= 1.19037695 →
→ θ ~= 1.190377 ~= 68° 12' 13''
oppure
≡ (c, s) ~= (0.928509, 0.37131) →
→ arccos(0.928509) ~= 0.38041937, arcsin(0.37131) ~= 0.3804194875 →
→ θ ~= 0.380419 ~= 21° 47' 47''
da cui
* T = 45/(8*0.37131) ~= 15.149 ~= 15.1 s
oppure
* T = 45/(8*0.928509) ~= 6.058 ~= 6.1 s

G*g = Vo^2*sin 2Θo

450*9,806 = 80^2*sin 2Θo

sin 2Θo = 450*9,806 / 80^2 = 0,6895

Θo = (arcsin 0,6895)/2 = 21,79°

cos Θo = 0,9285

tempo t = G/(Vo*cos Θo) = (450/(80*0,9285) = 6,058 s ( con 2 sole cifre signif.)

Sei sicuro che il risultato sia 6,1 s, perché non mi risulta

Sappiamo che la distanza percorsa si calcola con

x = v0*t

450 = 80*t ---> t = 450/80 $ \approx $ 5,6 s

Io mi trovo, ma non capisco perché "minimo". Espongo il ragionamento.

Le leggi del moto del proiettile con attrito trascurabile sono

{ x(t) = vo t cos a

{ y(t) = vo t sin a - g/2 t^2

T é definito dalla condizione che y(T) = 0

per cui vo T sin a - g/2 T^2 = 0

e scartando il valore 0 risulta T = 2 vo sin a / g

D = x(T) = vo * 2 vo sin a / g * cos a = vo^2 sin(2a)/g

per cui sin(2a) = gD/vo^2

Da qui in poi procedo numericamente passo - passo :

sin (2a) = 9.806*450/80^2 ~ 0.689

2a = arcsin* 0.689 = 43°.551

a = 43°.551/2 = 21°.7755

sin a = sin 21°.7755 ~ 0.371

e infine T = 2*80*0.371/9.806 s ~ 6.053 s

circa 6.1 s.