Disegna un parallelogramma ABCD e dimostra che la somma dei quadrati costruiti sulle diagonali AC e BD è equivalente al doppio della somma dei quadrati costruiti sui lati AB e BC.
Disegna un parallelogramma ABCD e dimostra che la somma dei quadrati costruiti sulle diagonali AC e BD è equivalente al doppio della somma dei quadrati costruiti sui lati AB e BC.
Tracciata la figura
diciamo H la proiezione di A sul prolungamento di DC e K la proiezione di C sul prolungamento di AB.
I triangoli rettangoli ADH e CBK sono congruenti per il 4^ Criterio, in quanto in essi
AD = BC perché lati opposti di un parallelogramma
AH = CK perché distanza di rette (AB, CD) parallele per ipotesi
Ne risulta pertanto BK = HD
Ora scriviamo l'enunciato del Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo ACK
Q[AC] = Q[AB + BK] + Q[CK]
e, detta F la proiezione di D su AB, sul triangolo rettangolo DFB
Q[BD] = Q[FB] + Q[DF]
che, tenuto conto delle giuste congruenze, può essere messo nella forma
Q[BD] = Q[AB - HD] + Q[CK]
Poiché somme di superfici equivalenti sono equivalenti
Q[AC] + Q[BD] = Q[AB] + 2 R[AB,BK] + Q[BK] + Q[CK] +
+ Q[AB] - 2 R [AB,BK] + Q[BK] + Q[CK] =
= 2 ( Q[AB] + (Q[BK] + Q[CK] ) ) =
= 2 (Q[AB] + Q[BC]) avendo utilizzato ancora il teorema di Pitagora
sul triangolo rettangolo CBK. La tesi é così dimostrata.
Nel parallelogramma ABCD nomino le lunghezze dei segmenti e le ampiezza degli angoli
* a = |AB| = |CD|
* b = |BC| = |DA|
* c = |AC|
* d = |BD|
* α = ABC
* π - α = BCD
applico il Teorema di Carnot alle due diagonali
* c^2 = a^2 + b^2 − 2*a*b*cos(α)
* d^2 = a^2 + b^2 − 2*u*b*cos(π - α)
e addiziono membro a membro
* c^2 + d^2 = 2*(a^2 + b^2) − 2*a*b*(cos(α) + cos(π - α)) ≡
≡ c^2 + d^2 = 2*(a^2 + b^2) − 2*a*b*(cos(α) - cos(α)) ≡
≡ c^2 + d^2 = 2*(a^2 + b^2)
QED