problemone da dimostrare

Tracciata la figura

diciamo H la proiezione di A sul prolungamento di DC e K la proiezione di C sul prolungamento di AB.

I triangoli rettangoli ADH e CBK sono congruenti per il 4^ Criterio, in quanto in essi

AD = BC perché lati opposti di un parallelogramma

AH = CK perché distanza di rette (AB, CD) parallele per ipotesi

Ne risulta pertanto BK = HD

Ora scriviamo l'enunciato del Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo ACK

Q[AC] = Q[AB + BK] + Q[CK]

e, detta F la proiezione di D su AB, sul triangolo rettangolo DFB

Q[BD] = Q[FB] + Q[DF]

che, tenuto conto delle giuste congruenze, può essere messo nella forma

Q[BD] = Q[AB - HD] + Q[CK]

Poiché somme di superfici equivalenti sono equivalenti

Q[AC] + Q[BD] = Q[AB] + 2 R[AB,BK] + Q[BK] + Q[CK] +

                       + Q[AB] - 2 R [AB,BK] + Q[BK] + Q[CK] =

= 2 ( Q[AB] + (Q[BK] + Q[CK] ) ) =

= 2 (Q[AB] + Q[BC])  avendo utilizzato ancora il teorema di Pitagora

sul triangolo rettangolo CBK. La tesi é così dimostrata.

Nel parallelogramma ABCD nomino le lunghezze dei segmenti e le ampiezza degli angoli
* a = |AB| = |CD|
* b = |BC| = |DA|
* c = |AC|
* d = |BD|
* α = ABC
* π - α = BCD
applico il Teorema di Carnot alle due diagonali
* c^2 = a^2 + b^2 − 2*a*b*cos(α)
* d^2 = a^2 + b^2 − 2*u*b*cos(π - α)
e addiziono membro a membro
* c^2 + d^2 = 2*(a^2 + b^2) − 2*a*b*(cos(α) + cos(π - α)) ≡
≡ c^2 + d^2 = 2*(a^2 + b^2) − 2*a*b*(cos(α) - cos(α)) ≡
≡ c^2 + d^2 = 2*(a^2 + b^2)
QED