Problemi sulle simmetrie centrali

1) Supponiamo che il punto richiesto abbia coordinate (a, b).

Se poniamo x' = 2a - x, y' = 2b - y

ovvero x = 2a - x', y = 2b - y'

e le sostituiamo nella prima, otteniamo   2a - x' + 2b - y' - 1 = 0

ovvero x + y + (1 - 2a - 2b) = 0

E' chiaro che al variare di a e b questa retta non può mai riprodurre

l'altra perché non avrà mai lo stesso coefficiente angolare che dovrebbe

essere 1. La tesi é provata.

2) Per applicare il procedimento generale basato sulla simmetria centrale

fingiamo di non vedere che si tratta di una funzione omografica.

Sostituendo come prima

(2a - x) (2b - y) + 2(2b - y) - (2a - x) + 1 = 0

4ab - 2ay - 2bx + xy + 4b - 2y - 2a + x + 1 = 0

xy + (-2 - 2a)y + (1 - 2b) x + 4ab + 4b - 2a + 1 = 0

Dovrebbe allora essere 

-2 - 2a = 2

1 - 2b = -1

4ab + 4b - 2a + 1 = 1

a = -2 e  b = 1

danno   - 8 + 4 + 4 + 1 = 1    per cui C = (-2,1).

Per riscontro, ora

xy + 2y - x + 1 = 0

(x+2)y = x - 1

y = (x-1)/(x+2)

C = (-d/c, a/c) = (-2/1, 1/1) = (-2,1)