Problemi, studio derivate.

a) La funzione é derivabile in tutto R,

per il Teorema di Fermat deve essere y' = 0 se x = 0

y'(0) = [ 2 e^(2x) - (a + 1) e^x ]_[x = 0] = 0

2 * 1 - (a + 1 )* 1 = 0

a + 1 = 2

a = 1

b) analogamente, deve essere y'' = 0 se y = - 3

4 e^(2x) - (a + 1) e^x = 0

e^(2x) - (a + 1) e^x + 3 = 0

Sottraendo

3 e^(2x) - 3 = 0

e^(2x) = 1

x = 0

Quindi dalla II

1 - (a + 1) + 3 = 0

1 - a - 1 + 3 = 0

-a = -3

a = 3

c) Se a = -3

y = e^(2x) + 2 e^x

é strettamente crescente perché somma di funzioni strettamente

crescenti nel dominio che é R. Allora é iniettiva e quindi invertibile

in R x ]0, +oo[

Funzione inversa

e^(2x) + 2 e^x = y

e^x = u

u^2 + 2u - y = 0 con y > 0

u = -1 + sqrt(1 + y)

ho scelto il segno +

perché una quantità che per la convenzione sui radicali

risulterebbe negativa in quanto somma di negativi

non può essere u che é un'esponenziale

e^x = sqrt( y + 1) - 1

e^y = sqrt(x + 1) - 1

y = ln (sqrt(x+1) - 1)