[Risolto] PROBLEMI SULLA PARABOLA

Ogni parabola non degenere con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha
* distanza focale |VF| = |Vd| = |Fd|/2 = f = 1/(4*|a|)
* fuoco F(w, h + 1/(4*a))
* direttrice d ≡ y = h - 1/(4*a)
* equazione Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
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Poiché la direttrice è ortogonale all'asse di simmetria, ogni parabola con direttrice
* d ≡ y = - 5/4
ha asse di simmetria parallelo all'asse y: x = w, costante reale.
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Poiché il vertice V della parabola è sull'asse e, come ogni altro punto, è equidistante da fuoco e direttrice la parabola descritta ha
* asse di simmetria x = 2 (ascissa di F)
* vertice V(2, (3/4 - 5/4)/2) = (2, - 1/4) (ordinata media fra F e d)
* distanza focale f = |Fd|/2 = 1/(4*|a|) = 1 ≡ |a| = 1/4 (modulo dell'apertura)
* yF > yV → a > 0 → a = 1/4
* equazione Γ ≡ y = - 1/4 + (x - 2)^2/4 ≡ y = (x - 1)*(x - 3)/4
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* s ≡ y = 2*x + 1
* s & Γ ≡ (y = 2*x + 1) & (y = (x - 1)*(x - 3)/4) ≡
≡ A(6 - √37, 13 - 2*√37) oppure B(6 + √37, 13 + 2*√37)
da cui
* A'(6 - √37, 0), B'(6 + √37, 0)
L'area del trapezio AA'B'B, rettangolo in A' e in B', è il prodotto fra l'altezza (xB - xA) e la media delle basi ((yB + yA)/2).

Il risultato posto probabilmente è errato.

Determino equazione parabola tramite la definizione:

√((2 - x)^2 + (3/4 - y)^2) = ABS(y + 5/4)

trattasi di stanze posso elevare al quadrato:

16·x^2 - 64·x + 16·y^2 - 24·y + 73 = 16·y^2 + 40·y + 25

16·x^2 - 64·x - 64·y + 48 = 0

x^2 - 4·x - 4·y + 3 = 0

quindi equazione:

y = x^2/4 - x + 3/4

Determino A e B

{y = x^2/4 - x + 3/4

{y = 2·x + 1

risolvo il sistema:

[x = √37 + 6 ∧ y = 2·√37 + 13, x = 6 - √37 ∧ y = 13 - 2·√37]

A: [6 - √37, 13 - 2·√37]

B: [√37 + 6, 2·√37 + 13]

A' : [6 - √37, 0]

B': [√37 + 6, 0]

Trapezio rettangolo di altezza:

h = √37 + 6 - (6 - √37)-----> h = 2·√37

e le due basi rappresentate dalle ordinate di A e di B, la cui semisomma vale:

(13 - 2·√37 + 2·√37 + 13)/2 = 13

Quindi area trapezio:

Α = 13·2·√37----> Α = 26·√37