[Risolto] Problemi sul cono

La superficie totale del cono è data dalla somma dell'area di base con quella laterale

$S_{tot} = A_{base} + A_{laterale}$

Mettendo a sistema le condizioni riportate dal problema si ottiene

{$A_{base} + A_{laterale} = 706.5$

{$A_{base}= \dfrac{4}{5}\cdot A_{laterale}$

Risolvendo il sistema si trova  $A_{base}= 314$ $dm^2$ e $A_{laterale} = 392.5$ $dm^2$.

Il volume del cono è dato, in generale, da
$V = \dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}$ 

Data la superficie laterale $A_{laterale}$ del solido, $s$ l'apotema e il raggio di base $r$ calcolati come

$r =\sqrt{\dfrac{A_{base}}{ \pi} }$

$s =\dfrac{ A_{laterale}}{(\pi \cdot r)}$ 

Quindi possiamo trovare l'altezza tramite Pitagora come $h = \sqrt{s^2 - r^2}$

Sostituiamo $h$ appena trovato per calcolare il volume

$V = 784,9$ $dm^3$

Il peso specifico $ps$, per definizione, è espresso in $[kg/dm^3]$. Il peso del solido risulta quindi

$ P = ps \cdot Volume = 1255.84$ $kg$

(Per la lista di alcune formule alternative del cono Cone Calculator (calculatorsoup.com) )

L'area della superficie totale di un cono è 706.5 dm^ e la sostanza di cui è  costituito ha un peso specifico relativo 1,6; sapendo che il rapporto dell'area  di  base Ab con l'area della superficie laterale Al è 4/5, calcola il peso del solido. 

706,5 = al+4al/5 = 9Al/5 

Al = 706,5*5/9 = 392,5 dm^2 = 3,14*r*a 

Ab = 392,5*4/5 = 314 dm^2

raggio r = √314/3,14 = 10,0 cm 

apotema a = 392,5/31,4 = 12,50 cm

altezza h = √12,50^2-10^2 = 7,50 cm

massa m = 314*7,50/3*1,6 = 1.256 kg

peso Fp = m*g = 1.256*9,806 = 12.316 N