Problemi sugli integrali.

a.   Asintoto orizzontale di equazione y = -1.

Ciò significa

$ \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1+kx^2}{x^2} = -1 $

$ k = -1$   (il limite vale k)

La funzione da considerare d'ora in poi sarà $f(x) = \frac{1- x^2}{x^2}$

b. 

Grafico.

c.   

Punti A e B. Troviamo le coordinate delle intersezioni risolvendo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} \frac{1-x^2}{x^2} &= y \\ y &= 0 \end{aligned} \right. $  

le cui due soluzioni sono x = ± 1. Ne consegue che le coordinate dei due punti sono

• A(-1, 0)
• B(1, 0)

Calcoliamo la derivata prima utile per i passi futuri $ f'(x) = -\frac{2}{x^3}$

⊳ Applichiamo la formula della retta tangente in A(-1, 0)

  y = f(-1) + f'(-1) (x+1) = 0 + 2(x+1)  = 2x + 2

L'altra intersezione (punto C) si ottiene come risultato dell'intersezione tra la retta tangente in A e la f(x).

$ \left\{\begin{aligned} y &= 2x+2 \\ y &= \frac{1-x^2}{x^2} \end{aligned} \right. $

Le cui due soluzioni sono i punti A(-1, 0) e C(1/2, 3)

⊳ Applichiamo la formula della retta tangente in B(1, 0)

  y = f(1) + f'(1) (x-1) = 0 + 2(x+1)  = -2x + 2

ripetendo i conti precedenti si arriva a determinare le coordinate di D(-1/2, 3)

d. 

Integreremo rispetto all'asse y.

Determiniamo l'equazione della curva x(y) = g(y)

dalla $ y = \frac{1-x^2}{x^2} $ ricaviamo $ x = \frac{1}{\sqrt{1+y}} $

Osserviamo la simmetria rispetto all'asse y (funzione pari) per cui

$ A = 2 \int_0^3  \frac{1}{\sqrt{1+y}} \, dy $

$ A = \left. 2 \cdot 2 \sqrt{1+y} \right|_0^3 $

$ A = 2\cdot 2 \cdot 2 - 4 = 4 $