Sia $A B C$ un triangolo rettangolo di ipotenusa $\overline{A C}=a$ e sia $B H$ l'altezza relativa all'ipotenusa. Determina la misura $x$ del cateto $A B$ in modo che risulti $\overline{A B}^2+\overline{B H}^2+\overline{B C}^2=\frac{19}{16} a^2$.
$$
\left[x=\frac{a}{2} 0 x=\frac{a}{2} \sqrt{3}\right]
$$
qualcuno può gentilmente aiutarmi?:)
14
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Livello 0
x^2 = AH * a;
AH = x^2 / a;
BH^2 = AH * (a - AH);
BH^2 = x^2 / a * (a - x^2/a);
BH^2 = x^2 - x^4 / a^2;
AB^2 +BC^2 = a^2; teorema di Pitagora
AB^2 + BC^2 + BH^2 = 19/16 a^2;
a^2 + x^2 - x^4 / a^2 = 19/16 a^2;
a^4 + a^2 x^2 - x^4 = 19/16 a^4;
16 a^4 + 16 a^2 x^2 - 16x^4 = 19 a^4;
16 x^4 - 16 a^2 x^2 + 3 a^4 = 0;
x^2 = y;
16 y^2 - 16 a^2 y +3 a^4 = 0;
y = [+ 8a^2 +- radicequadrata(64a^4 - 16 * 3 a^4)] / 16;
y = [+ 8 a^2 +- radice(64 a^4 - 48a^4)] / 16;
y = [+ 8 a^2 +- radice(16 a^4)] / 16;
y = [ + 8 a^2 +- 4 a^2] / 16,
y1 = 12 a^2 / 16 = 3 a^2 / 4;
y2 = 4 a^2 / 16 = a^2 / 4;
x1 = + - radice(y1);
x1 = a * radice(3) /2; (cateto AB);
x2 = +- radice(y2);
x2 = radice(a^2 / 4) = a /2; (cateto AB);
le soluzioni sono quattro, ma per il cateto AB prendiamo solo le soluzioni positive.
Ciao @stella-m
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Genius II
@mg grazie mille per la risposta:)
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Livello 7
@cenerentola Grazie mille per la risposta.
L’unica mia incomprensione è il quinto passaggio ovvero(2xABxBCAC.
Per il resto tutto chiaro.Grazie mille:)
@stella.m
BH e’ l’altezza relativa all’ipotenusa.
in un triangolo l’altezza e’ data dalla doppia area diviso la base.
l’area in un triangolo rettangolo è cateto per cateto diviso 2.
Nel triangolo ABC, rettangolo in B e di altezza BH, si nominano le lunghezze dei segmenti
* x = |AB|
* c = |BC|
* a = |AC| = √(x^2 + c^2)
* h = |BH| = c*x/a = c*x/√(x^2 + c^2)
tutt'e quattro ovviamente a valore positivo, e si chiedono i valori di x tali che
* x^2 + h^2 + c^2 = 19*a^2/16
cioè, con c^2 = a^2 - x^2,
* x^2 + (√(a^2 - x^2)*x/√(x^2 + a^2 - x^2))^2 + a^2 - x^2 - 19*a^2/16 = 0 ≡
≡ x^2 + (a^2 - x^2)*x^2/a^2 + a^2 - x^2 - 19*a^2/16 = 0 ≡
≡ (a + 2*x)*(a - 2*x)*(4*x^2 - 3*a^2) = 0 ≡
≡ (a + 2*x = 0) oppure (a - 2*x = 0) oppure (4*x^2 - 3*a^2 = 0) ≡
≡ (x = - a/2) oppure (x = a/2) oppure (x = - (√3/2)*a) oppure (x = (√3/2)*a) ≡
≡ (x = a/2) oppure (x = (√3/2)*a)
che è proprio il risultato atteso.
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Genius I
