Problemi risolvibili con gli integrali.

$ f(x) = \int_1^x \frac{\sqrt[3] {t}} {e^{-t}} \, dt $

a.   La funzione integranda, cioè la sua derivata prima è una funzione continua, definita in tutto ℝ, quindi f(x) è definita e continua in tutto ℝ.

b. Notiamo che l'integrale improprio $ \int_1^{+\infty} \frac{\sqrt[3] {t}}{e^{-t}} \, dt $ è un integrale convergente (criterio del confronto a due) quindi la funzione integranda tenderà a zero. Occorre precisare che l'ultimo passaggio è giustificato dal fatto che esiste il limite della funzione integranda. Possiamo così concludere che f(x) ammette un asintoto laterale destro di equazione y = 0.

c.  $ f'(x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^x}$ 

• Dominio = ℝ
• Segno f'(x) 
  • • f'(x) < 0 per x < 0
    • f'(x) = 0 per x = 0
    • f'(x) > 0 per x > 0 
• Comportamento in frontiera
  • • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $
    • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $
• Minimo. Dal segno della derivata prima possiamo dedurre che in corrispondenza del punto stazionario c'è un minimo.

d.

• Derivata seconda f"(x) =$ \frac{1-3x}{3 e^x \sqrt[3]{x^2}} $
• La derivata seconda non è definita per x = 0
• $\displaystyle\lim_{x \to 0} f^{(2)}(x) = +\infty$   siamo di fronte ad un flesso verticale di f'(x)
• Segno  f"(x) 
  • • $f^{(2)}(x) < 0 $   per $ x > \frac{1}{3}$
    • $f^{(2)}(x) = 0 $   per $ x = \frac{1}{3}$
    • $f^{(2)}(x) < 0 $   per $ x > \frac{1}{3}$
    • questo significa che ammette un flesso per x = 1/3
• La funzione f(x) non è derivabile due volte in tutto ℝ

e.  grafico

f. retta tangente per x = 1.

Applichiamo la formula della retta tangente.

$ y = f(1) + f'(1) (x-1) $

$ y = \frac{1}{e}(x-1) $

g. 

$ \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2-1} = ⊳$

Qui ci vuole de l'Hôpital

$ \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{2x} =  $

$ = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}e^{-x}}{2x} = e^{\frac{-1}{2}}$

$ ⊳ = e^{\frac{-1}{2}}$