[Risolto] Problemi goniometria.

230) Se rammenti la terna pitagorica (3, 4, 5) t'accorgi che l'angolo positivo il cui coseno è 4/5 ha seno 3/5 e tangente 3/4, che è la pendenza specificata.
Quindi la retta richiesta è parte del fascio
* r(q) ≡ y = (3/4)*x + q
La condizione di passaggio per P(2, - 5) impone il vincolo
* - 5 = (3/4)*2 + q ≡ q = - 13/2
da cui
* r(- 13/2) ≡ y = (3*x - 26)/4
------------------------------
231) Nell'equazione della generica circonferenza Γ in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione di Γ determinando i tre parametri (a, b, q).
---------------
Ogni circonferenza di centro C(2, 0) ha equazione
* Γ ≡ (x - 2)^2 + y^2 = q = r^2
La condizione di passaggio per A(4, 0) determina r = 2, da cui
* Γ ≡ (x - 2)^2 + y^2 = 4
o, in forma normale canonica,
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 4*x = 0
---------------
Per x = 3 si ha
* (3 - 2)^2 + y^2 = 4 ≡ y = ± √3
---------------
Lo sdoppiamento rispetto a (3, √3) della
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 4*x = 0
dà la tangente richiesta
* t ≡ 3*x + (√3)*y - 4*(x + 3)/2 = 0 ≡ y = (6 - x)/√3
di pendenza m = - 1/√3.
---------------
L'inclinazione richiesta, arcotangente della pendenza, è
* θ = arctg(- 1/√3) = - π/6 = - 30°

230:

y = m x + q;

m = coefficiente angolare;

m = tan(alfa) = sen(alfa) / cos(alfa):

sen^2(alfa) + cos^2(alfa) = 1;

sen^2(alfa) = 1 - cos^2(alfa)  = 1 - 16/25;

sen^2(alfa) = 9/25;

sen(alfa) = 3/5;

tan(alfa) = 3/5 * 5/4 = 3/4; (coefficiente angolare).

y = 3/4 * x + q;

imponiamo il passaggio in P(2 ; - 5) e troviamo q.

- 5 = 3/4 * 2 + q;

- 5 =  3/2 + q

q = - 5 - 3/2 = - 10/2 - 3/2 = - 13/2;

retta:

y = 3/4 * x - 13/2;

@dedida un problema per volta....

Circonferenza:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2;

Centro C(2; 0):

(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = r^2;

Deve passare in A(4 ; 0);

(4 - 2)^2 + 0 = r^2;

r = 2;

(x - 2)^2 + y^2 = 4;

x^2 + 4 - 4x + y^2 - 4 = 0;

x^2 + y^2 - 4x = 0; equazione della circonferenza.

Tangente nel punto P di coordinate: x = 3; y = ?

y^2 = 4 - (3 - 2)^2;

y = + - radice(3);

P = [3 ; + radice(3)];

y - yo = m (x - xo); passa in P [3 ; + radice(3)]

y - radice(3) =  m (x - 3);

deve essere perpendicolare al raggio.

Il raggio appartiene alla retta che passa nei punti C e P;

ha coefficiente angolare m = [radice(3) - 0] / (3 - 2);

m = radice(3); tangente dell'angolo del raggio.

la retta tangente ha coefficiente - 1/m = - 1 / radice(3);

m = - radice(3) / 3;

y - radice(3) =  m (x - 3);

y = [- radice(3) /3] * (x - 3) + radice(3);

y = [- radice(3) / 3] * x + 2 * radice(3);

tan(angolo) = - radice(3) / 3;

angolo = arctan[- radice(3) / 3] = - 30°;

(180° - 30° = 150° ; angolo ottuso sull'asse x).