Problemi geometrici risolvibili utilizzando il teorema di Pitagora e equazioni.

In un trapezio rettangolo ABCD di base maggiore B e base minore b, il lato obliquo lo è congruente alla base minore, la quale è 5/3 dell’altezza h. Se il perimetro 2p del trapezio è 44 cm, qual è l’area A del trapezio?

 si esprimono tutte le grandezze in modo proporzionale ad h, tenendo conto che il triangolo BCH è rettangolo e che lo, p ed h sono una terna pitagorica 3,4 e 5 

altezza h = 3

lato obliquo lo = b = 5

proiezione = p = 4 

base maggiore B = b+p = 5+4 = 9

perimetro 2p = 44 = k(3+3*5+4) = 22k

coefficiente di proporzionalità k = 44/22 = 2,0

altezza = k*h = 3*2 = 6 cm

base minore = k*b = 5*2 = 10 cm

lato obliquo  = k*lo = 5*2 = 10 cm

proiezione = k*p = 2*4 = 8 cm 

base maggiore B = b+p = 18 cm 

area A = (b+B)*h/2 = 28*6/2 = 84 cm^2

In un trapezio rettangolo, ABCD di base maggiore AB e base minore CD il lato obliquo è congruente alla base minore, la quale è 5/3 dell’altezza. Il perimetro del trapezio è 44 cm. Qual è l’area del trapezio? 

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La base minore e il lato obliquo, essendo congruenti, non possono essere minori dell'altezza, penso che nel testo è invertito il rapporto e dovrebbe essere 5/3 e non 3/5; vado avanti così:

altezza = lato retto $h=lr=x;$

base minore = lato obliquo $b=lo={\displaystyle \frac{5}{3}}x;$

base maggiore:

$B=b+plo$ (per la proiezione del lato obliquo (plo) applica il teorema di Pitagora)

$B={\displaystyle \frac{5}{3}}x+\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{5}{3}}x\right)}^2-x^2}$

$B={\displaystyle \frac{5}{3}}x+\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{9}}{x}^2-x^2}$

$B={\displaystyle \frac{5}{3}}x+\sqrt{{\displaystyle \frac{25-9}{9}}{x}^2}$

$B={\displaystyle \frac{5}{3}}x+\sqrt{{\displaystyle \frac{16}{9}}{x}^2}$

$B={\displaystyle \frac{5}{3}}x+{\displaystyle \frac{4}{3}}x$

$B={\displaystyle \frac{{\cancel{9}}^3}{{\cancel{3}}_1}}x=3x$

equazione conoscendo il perimetro:

$B+b+lr+lo=2p$

$3x+{\displaystyle \frac{5}{3}}x+x+{\displaystyle \frac{5}{3}}x=44$ moltiplica tutto per 3 per eliminare i denominatori:

$9x+5x+3x+5x=132$

$22x=132$ dividi ambo le parti per 22 per isolare l'incognita:

${\displaystyle \frac{\cancel{22}x}{\cancel{22}}}={\displaystyle \frac{132}{22}}$

$x=6$

per cui i lati risultano:

altezza = lato retto $h=lr=x=6cm;$

base minore = lato obliquo $b=lo={\displaystyle \frac{5}{3}}x={\displaystyle \frac{5}{{\cancel{3}}_1}}\times {\cancel{6}}^2=5\times 2=10cm;$

base maggiore $B=3x=3\times 6=18cm;$

verifica del perimetro: $2p=B+b+lr+lo=18+10+6+10=44cm$

area del trapezio $A={\displaystyle \frac{(B+b)\times h}{2}}={\displaystyle \frac{(18+10)\times {\cancel{6}}^3}{{\cancel{2}}_1}}=28\times 3=84c{m}^2.$