[Risolto] Problemi geometrici risolvibili per via algebrica

base b = 4/5 della diagonale d;

b = d * 4/5;

b + h = semiperimetro del rettangolo;

b + h = 70 / 2 = 35 cm;

h = 35 - b; altezza del rettangolo;

abbiamo base e altezza che dipendono dalla diagonale d:

b = d * 4/5;

h = 35 - d * (4/5);

Con il teorema di Pitagora:

d^2 = b^2 + h^2;

equazione con incognita la diagonale d:

d^2 = [d * (4/5)]^2 + [35 - d * (4/5)]^2;

d^2 = d^2 * (16/25) + 1225 + d^2 *(16/25) - (2 * 35 * d * 4/5) ;

d^2 = d^2 * (32/25) - d * (280/5) + 1225;   [ moltiplichiamo per il mcm = 25 ];

25d^2 = 32 d^2 - 1400 d + 30625;

7d^2 - 1400 d + 30625 = 0;    semplifichiamo per 7;

d^2 - 200 + 4375 = 0;

risolviamo con la formula ridotta:   [- b/2 = + 200/2 = + 100];

d = + 100 +- radice(100^2 - 4375);

d = + 100 +- radice(5625) = + 100 +- 75;

d1 = 175 cm; da scartare perché il perimetro è 70 cm; i lati sono più piccoli.

d2 = 25 cm; misura accettabile per la diagonale;

base = 25 * 4/5 = 20 cm;

h = 35 - 20 = 15 cm;

Area = 15 * 20 = 300 cm^2. 

@riccardo-_  ciao

Sapendo che $DC$ è i $4/5x$ si deduce che:

$BC=√x^2-16/25x^2$

$BC=√9/25x^2$

$BC=3/5x$

quindi:

$3/5x+3/5x+4/5x+4/5x=70$

$14/5x=70$

$x=70(5/14)$

$x=25$

in conclusione:

$BC=AD=3/5(25)=15$

$AB=DC=4/5(25)=20$

Area $15*20=300cm^2$

La diagonale d del rettangolo di base b e altezza h è ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha b e h per cateti.
Avere b = (4/5)*d implica h = (3/5)*d, riconoscendo il triangolo di lati (h, b, d) = k*(3, 4, 5) proporzionali alla minima terna pitagorica (3, 4, 5).
Pertanto
* perimetro p = 2*(b + h) = 2*((4/5)*d + (3/5)*d) = (14/5)*d = 70 cm ≡ d = 25 cm
da cui
* b = (4/5)*25 = 20 cm
* h = (3/5)*25 = 15 cm
* area S = b*h = 20*15 = 300 cm^2