[Risolto] Problemi geometria

In un rombo la somma tra i 5/8 della diagonale maggiore e i 3/2 della minore è 27 cm. Sapendo che il rapporto tra la differenza delle diagonali e la loro semisomma è 2/7 calcola il perimetro del rombo.

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Diagonale maggiore $=D$;

diagonale minore $=d$;

sistema con sostituzione:

$\Bigg\{\begin{array}{rl}\frac{5}{8}D+\frac{3}{2}d~=~27~~\\\frac{D-d}{\frac{D+d}{2}}=\frac{2}{7}~~~~~~~~~\\\end{array}\Bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}5D+12d=~216~~~~~\\D-d=\frac{2}{7}\big(\frac{D+d}{2}\big)\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}5D~=~216-12d~~~~~\\D-d=\frac{1}{7}D+\frac{1}{7}d\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}5D~=~216-12d~~~~~\\7D-7d=D+d\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}5D~=~216-12d~~~~~\\7D-D=7d+d\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}5D~=~216-12d~~~\\6D=8d~~~~~~~~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}5D~=~216-12d~~~\\D=\frac{4}{3}d~~~~~~~~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}5×\frac{4}{3}d~=~216-12d~~~\\D=\frac{4}{3}d~~~~~~~~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}\frac{20}{3}d~=~216-12d~~~\\D=\frac{4}{3}d~~~~~~~~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}20d~=~648-36d~~~\\D=\frac{4}{3}d~~~~~~~~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}20d+36d~=~648\\D=\frac{4}{3}d~~~~~~~~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}56d~=~648\\D=\frac{4}{3}d~~~~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}d~=~\frac{648}{56}~~~~\\D=\frac{4}{3}d~~~~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}d~=~\frac{81}{7}~~~~\\D=\frac{4}{3}d~~~~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}d=~\frac{81}{7}~~~~\\D=\frac{4}{3}×\frac{81}{7}~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}d=~\frac{81}{7}~~~~\\D=4×\frac{27}{7}~\\\end{array}\bigg\}$

$\bigg\{\begin{array}{rl}d=\frac{81}{7}~\\D=\frac{108}{7}~\\\end{array}\bigg\}$

risultato:

diagonale maggiore $D = \frac{108}{7}~cm$ $(≅ 15,43~cm)$;

diagonale minore $d = \frac{81}{7}~cm$ $(≅ 11,57~cm)$.

Fai la verifica sostituendo i valori trovati nel sistema  all'inizio.

Lato $l= \sqrt{\big(\frac{D}{2}\big)^2+\big(\frac{d}{2}\big)^2}=\sqrt{\big(\frac{1}{2}×\frac{108}{7}\big)^2+\big(\frac{1}{2}×\frac{81}{7}\big)^2} = \sqrt{\big(\frac{54}{7}\big)^2+\big(\frac{81}{14}\big)^2} = \frac{135}{14}~cm$ $(≅ 9,64~cm)$;

perimetro del rombo $2p= 4·l = 4×\frac{135}{14} = \frac{270}{7}~cm$ $(≅ 38,57~cm)$.

BADA CHE NEGLI ARTICOLI LA ELLE E LA VOCALE VANNO ALLA ROVESCIA DI COME CREDI TU.
In un rombo di diagonali 0 < d <= D la somma tra i 5/8 di D e i 3/2 di d è 27 cm.
Sapendo che il rapporto k tra la differenza (D - d) delle diagonali e la loro media ((D + d)/2) è 2/7 calcola il perimetro (p = 4*L = 2*√(D^2 + d^2)) del rombo.
Che testo pasticciato, va affrontato con pazienza (misure in cm).
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"la somma tra i 5/8 di D e i 3/2 di d è 27" ≡
≡ 5*D/8 + 3*d/2 = 27 ≡
≡ 8*5*D/8 + 8*3*d/2 = 8*27 ≡
≡ 5*D + 12*d = 216 ≡
≡ 5*D = 216 - 12*d ≡
≡ D = (216 - 12*d)/5
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"la differenza (D - d) delle diagonali" ≡
≡ D - d = (216 - 12*d)/5 - d = (216 - 17*d)/5
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"la loro media ((D + d)/2)" ≡
≡ (D + d)/2 = ((216 - 12*d)/5 + d)/2 = (216 - 7*d)/10
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"il rapporto k tra la differenza (D - d) delle diagonali e la loro media ((D + d)/2) è 2/7" ≡
≡ k = (D - d)/((D + d)/2) = ((216 - 17*d)/5)/((216 - 7*d)/10) =
= 2*(216 - 17*d)/(216 - 7*d) = 2/7 ≡
≡ ((216 - 17*d)/(216 - 7*d) = 1/7) & (216 != 7*d) ≡
≡ (7*(216 - 17*d)/(216 - 7*d) = 1) & (d != 216/7 = 30.(857142) ~= 31) ≡
≡ (7*216 - 7*17*d = (216 - 7*d)) & (d != 216/7) ≡
≡ (1512 - 119*d - (216 - 7*d) = 0) & (d != 216/7) ≡
≡ (16*(81 - 7*d) = 0) & (d != 216/7) ≡
≡ (81 - 7*d = 0) & (d != 216/7) ≡
≡ (d = 81/7) & (d != 216/7) ≡
≡ d = 81/7
da cui
* D = (216 - 12*d)/5 = (216 - 12*81/7)/5 = 108/7
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"calcola il perimetro (p = 4*L = 2*√(D^2 + d^2)) del rombo" ≡
≡ p = 2*√(D^2 + d^2) = 2*√((108/7)^2 + (81/7)^2) = 2*√(18225/49) =
= 270/7 = 38.(571428) ~= 39
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AUFF, che palletico!

Conosci i sistemi di equazioni lineari?