[Risolto] Problemi disequazioni di secondo grado

$ f(x) = x(4x^3-8x^2-x+2) $

Si tratta di scomporre ulteriormente il polinomio $P(x) = 4x^3-8x^2-x+2$, il cui termine direttivo è 4 mentre il termine noto vale 2.

Sappiamo che se il polinomio ammette almeno una radice razionale r allora questa è da ricercare nel rapporto tra p (divisori del coefficiente direttorio) e q (divisori termine noto), cioè

$ r = \frac{p}{q}$

dove 

$ p = \{-1, 1, 2, -2\}; \quad q = \{-1, 1, 2, -2, 4, -4 \}$

Quindi se esiste una radice razionale allora non può che essere uno o più elementi dell'insieme

$ \{-1, 1, -2, 2, \frac {-1}{2},\frac {1}{2}, \frac {-1}{4}, \frac {1}{4} \}$

Non ci resta che provare.

• P(1) = (4 -8 -1 + 2) ≠ 0  non è una radice
• P(-1) = (-4 -8 -2 +2) ≠ 0  non è una radice
• P(1) = (32 - 32 - 2 + 2) = 0  questa è una radice 

quindi il polinomio è divisibile per (x-2)

Procedendo con l'algoritmo della divisione avremo

$P(x) : (x-2) = 4x^2-1$

per cui

$f(x) = x(x-2)(4x^2-1) = x(x-2)(2x+1)(2x-1)$

a.  Zeri della funzione.

La scomposizione della funzione ci permette di affermare che gli zeri di f(x) sono

⊳ x = 0

⊳ x = 2

⊳ x = $-\frac{1}{2}$

⊳ x = $\frac{1}{2}$   

.

b.   dove la funzione si trova sotto l'asse delle x.

In altre parole dove la funzione f(x) risulta negativa. Studiamone il segno utilizzando la griglia.

_____-1/2______0______1/2________2_____

--------------------0++++++++++++++++++    x

---------------------------------------------0++++    (x-2)

+++++0---------------------0++++++++++++   (4x^2-1)

+++++0----------0+++++0-------------0++++    sgn(f(x))

La funzione è negativa in (-1/2, 0) U (1/2, 2)

La disequazione è di grado quattro, non due.
A livello di biennio la funzione razionale intera
* f(x) = y = 4*x^4 - 8*x^3 - x^2 + 2*x
si chiama polinomio di grado quattro a coefficienti interi privo di termine noto.
Pertanto uno zero è banale, quello nell'origine
* f(x) = y = (4*x^3 - 8*x^2 - x + 2)*x
e restano da determinare quelli del polinomio di grado tre
* p(x) = y = 4*x^3 - 8*x^2 - x + 2
che, essendo di grado dispari, ne ha almeno uno reale.
Se questo è razionale dev'essere un rapporto fra un divisore intero del termine noto {- 2, - 1, 1, 2} e un divisore naturale del coefficiente direttore {1, 2, 4}, cioè uno di
* {- 2, - 1, - 1/2, - 1/4, 1/4, 1/2, 1, 2}
valutando p(x) per questi otto valori dei potenziali zeri razionali si hanno le coppie
* {x, p(x)} ∈ {{- 2, - 60}, {- 1, - 9}, {- 1/2, 0}, {- 1/4, 27/16}, {1/4, 21/16}, {1/2, 0}, {1, - 3}, {2, 0}}
fra cui ben tre zeri razionali.
Conclusione
La scomposizione
* f(x) = y = 4*(x + 1/2)*(x - 0)*(x - 1/2)*(x - 2)
evidenzia i quattro zeri che, essendo semplici, partizionano l'asse x in cinque intervalli di segno costante e opposto fra intervalli adiacenti; quindi basta una sola valutazione (ad esempio f(- 1) = 9 > 0) per determinarli tutti.
1) per x < - 1/2, f(x) > 0
2) per - 1/2 < x < 0, f(x) < 0
3) per 0 < x < 1/2, f(x) > 0
4) per 1/2 < x < 2, f(x) < 0
5) per x > 2, f(x) > 0