[Risolto] Problemi di riepilogo sull’iperbole e le altre coniche

Il problema è lungo quindi ti devi accontentare della risoluzione sino al punto:verifica che il punto medio M di AB appartiene alla retta passante per P parallela all’asse y

x·y = k passa per P: 2·1 = k ---> x·y = 2

la retta generica del fascio proprio di rette per P è:

y - 1 = m·(x - 2) ---->y = m·x - 2·m + 1

Messa a sistema con l'iperbole equilatera fornisce

x·(m·x - 2·m + 1) - 2 = 0

m·x^2 + x·(1 - 2·m) - 2 = 0

La condizione di tangenza fornisce Δ = 0  -->(1 - 2·m)^2 - 4·m·(-2) = 0

4·m^2 + 4·m + 1 = 0---> (2·m + 1)^2 = 0--->m = - 1/2

Quindi retta tangente in P: y = (- 1/2)·x - 2·(- 1/2) + 1----> y = 2 - x/2

essa interseca l'asse delle x nel punto:

{y = 2 - x/2 ,y = 0}  --->[x = 4 ∧ y = 0] --->H(4,0) In tale punto passa la retta perpendicolare

a t che ha coefficiente angolare m = 2 tale retta n ha equazione:

y - 0 = 2·(x - 4)   ---> y = 2·x - 8

I punti di intersezione dell'iperbole con tale retta sono:

{x·y = 2 , y = 2·x - 8}--->[x = √5 + 2 ∧ y = 2·√5 - 4, x = 2 - √5 ∧ y = - 2·√5 - 4]

Il punto medio M ha coordinate:

{x = (√5 + 2 + 2 - √5)/2

{y = (2·√5 - 4 - 2·√5 - 4)/2

Quindi:

{x = 2

{y = -4                M(2,-4) APPARTIENE ALLA RETTA x=2!

Ciao, continuo.

Determino la circonferenza di diametro AB: M(2,-4) è il suo centro. Il raggio è:

MB=√((√5 + 2 - 2)^2 + (2·√5 - 4 + 4)^2) = 5

Quindi la sua equazione è:(x-2)^2+(y+4)^2=25

quindi il triangolo PAB è rettangolo in P per proprietà geometriche della circonferenza

QUESTO E' UN TEMA D'ESAME, NON UN ESERCIZIO!
Altro che "Problema di riepilogo"; e poi "le altre coniche" che c'entrano?
C'è solo da scrivere il circumcerchio di un triangolo, che peraltro può servire a controllare se sia rettangolo o no.
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TIREMM INNANZ (© Amatore Sciesa)
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A) Le iperboli equilatere con gli assi coordinati per asintoti sono
* Γ(k) ≡ x*y = k
Il passaggio per P(2, 1) impone il vincolo
* 1*2 = k
da cui
* Γ ≡ x*y = 2
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B) L'iperbole
* Γ ≡ x*y = 2 ≡ y = 2/x
ha la pendenza
* m(x) = - 2/x^2
che in P vale
* m(2) = - 1/2
La retta per P(2, 1) con pendenza "- 1/2" è
* t ≡ y = (4 - x)/2
che interseca l'asse x in
* H(4, 0)
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C) Il fascio delle perpendicolari a t, con pendenza antinversa m = 2, è
* n(q) ≡ y = 2*x + q
e quella per P(2, 1) è
* n(- 3) ≡ y = 2*x - 3
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D) Il sistema dei punti comuni
* n & Γ ≡ (y = 2*x - 3) & (x*y = 2) ≡
≡ A(- 1/2, - 4) oppure B(2, 1)
individua le intersezioni, di cui una è proprio P; il loro punto medio
* M(3/4, - 3/2)
non ha affatto l'ascissa dell'estremo P perché la retta n non è verticale.
LA PRIMA VERIFICA RICHIESTA E' FALLITA.
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E) Il triangolo APB di vertici
* A(- 1/2, - 4), P(2, 1), B(2, 1)
degenerando nel segmento AB, non è rettangolo in P.
LA SECONDA VERIFICA RICHIESTA E' FALLITA.
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F) Il circumcerchio del triangolo degenere APB ha centro M e diametro AB
* (x - 3/4)^2 + (y + 3/2)^2 = (5*√5/4)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - (3/2)*x + 3*y - 5 = 0
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http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D2%2Cx%5E2%2By%5E2-%283%2F2%29*x%2B3*y-5%3D0%2C%28-y%2B%284-x%29%2F2%29*%28-y%2B2*x-3%29%3D0%5D
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A DDU RRII CHIANTA LU ZZIPPU (© Proverbio Leccese)