[Risolto] Problemi di probabilità : consigli su strategie di risoluzione

Ciao!

1)In 3 classi quinte di una scuola ci sono rispettivamente 22,18 e 23 alunni.Occorre mandare una rappresentanza formata da un alunno di ciascuna quinta.Quante sono le terne di studenti che è possibile formare?

Vogliamo creare una terna estraendo una persona da ogni gruppo. 

In totale, gli studenti che stiamo considerando sono $22+18+23 = 63$

Vogliamo quindi creare un gruppo di tre persone, scegliendo un elemento da ogni gruppo: vogliamo quindi calcolare un raggruppamento:

Supponiamo ci siano tre sedie, per i tre rappresentanti.

Sulla prima sedia si possono sedere $22$ alunni, sulla seconda $18$ e sulla terza $23$, quindi in totale:

$ 22 \cdot 18 \cdot 23 = 9108 $

2)Si lanciano due dadi non truccati.Sia E l'evento che la somma dei numeri usciti è dispari,F l'evento che almeno uno dei due numeri usciti è 1.

Scrivere in maniera esplicita l'evento E∩F. Calcolare la probabilità degli eventi E∩F e EUF.

L'evento $E \cap F$ consiste nel "la somma dei due numeri è dispari, e uno dei due è $1$". 

Possiamo usare la definizione di probabilità condizionata:

$ P(E \cap F) = P (E|F) P(F) $

$P(E|F) = $ sapendo che uno dei due è $1$, la probabilità che la somma sia dispari è.... 

La somma di $1$ con i numeri che escono lanciando un dado è:

$2, 3, 4, 5, 6, 7$ (6 casi totali), di cui i dispari sono $3,5,7$ (3 casi favorevoli)

dunque $P(E|F) = \frac36 = \frac12$ 

e $P(F) = \frac16$ (la probabilità che esca $1$.

In totale: $P(E \cap F) = \frac12 \cdot \frac16 = \frac{1}{12}$

Per $P(E\cup F) $ usiamo la regola dell'unione di eventi:

$P(E \cup F) = P(E)+P(F)-P(E \cap F) $

$P(E) = \frac{somma \ dispari}{tutte \ le \ somme} $

Tutte le somme sono:

$1+1, 1+2, 1+3, 1+4, 1+5, 1+6, 2+2, 2+3, 2+4, 2+5, 2+6, 3+3, 3+4, 3+5, 3+6, 4+4, 4+5, 4+6, 5+5, 5+6, 6+6$ cioè $21$ casi, 

di cui i dispari sono $1+2, 1+4, 1+6, 2+3, 3+5, 3+4, 3+6, 4+5, 5+6$ cioè $9$ casi, quindi

$P(E) = \frac{9}{21} = \frac{3}{7} $

In totale, quindi:

$P(E\cup F) = \frac37 +\frac16-\frac{1}{12} = \frac{43}{84}$

3)In una scuola ci sono 80 alunne e 120 alunni.I 2/5 delle alunne e 1/2 degli alunni portano gli occhiali.Si scelgono due studenti in modo casuale fra tutti gli alunni della scuola.Determinare la probabilità che il primo studente scelto porti gli occhiali.

Lo modellizziamo con la probabilità condizionata:

$P(M) = \frac{120}{200}$, $P(F) = \frac{80}{200}$

$P(O|F) = \frac25$, $P(O|M) = \frac12$

La probabilità che un alunno abbia gli occhiali è: (dal teorema delle probabilità totali)

$P(O) = P(O|F)P(F)+P(O|M)P(M) = \frac25 \cdot \frac{120}{200}+\frac12 \cdot \frac{80}{200} = \frac{23}{50} $

Quindi la probabilità che alla prima estrazione si estragga una persona con gli occhiali è proprio $\frac{23}{50}$.

4)Su una scacchiera vengono piazzate 8 torri in modo casuale.Quale risulta la probabilità che ciascuna torre sia su una riga ed una colonna distinte?

La scacchiera ha $64$ riquadri ($\cdot 8$), dunque la prima torre può essere collocata in 64 modi diversi. Per collocare la seconda torre nel modo
richiesto bisogna escludere la riga e la colonna in cui si è disposta la prima torre. Questo riduce la scacchiera a $7 \cdot 7$ riquadri, e permette quindi $49$
diverse collocazioni... etc.

Quindi i modi sono $8^2 \cdot 7^2 \cdot 6^2 .... = (8!)^2 $.

Però non si sta tenendo conto dell'ordine, come se queste potessero essere in qualche modo identificate le une dalle altre. ma non è così, perché per noi tutte le torri sono uguali. Dividendo allora per i possibili ordinamenti di 8
elementi, cioè per $8!$, otteniamo la probabilità che è $8!$.

1)  22*18*23 = 9 108

2) la somma è dispari e uno dei due è 1 se escono

(1,2) (2,1) (1,4) (4,1) (1,6) (6,1)    sei casi su 36 : 1/6

Pr [E] = Pr [ 3 o 5 o 7 o 9 o 11 ] = (2+4+6+4+2)/36 = 18/36 = 1/2

(2,1) (1,2)

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)

(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)

(3,6) (5,4) (4,5) (6,3)

(5,6) (6,5)

Pr [F] = Pr [ almeno un 1 ] = 1 - Pr [ nessun 1 ] = 1 - (5/6)^2 = 11/36

Pr [E U F ] = Pr [E] + Pr[F] - Pr [E&F] = 18/36 + 11/36 - 6/36 = 23/36

3) 80*2/5 + 120*1/2 = 32 + 60 = 92 portano gli occhiali

la probabilità che il primo estratto porti gli occhiali è 92/200 = 46%

4) Ho provato a tracciare uno schema :

la prima posso sistemarla in 64 modi, la seconda - togliendo la riga e la colonna dov'è la prima - in 7 x 7 = 49 modi, la terza in 6 x 6 modi, fino all'ultima in 1 x 1 = 1 modo.

I casi favorevoli sono  f = 8 x 8 x 7 x 7 .... x 1 x 1 = 40320^2 = 1 625 702 400 = P8 ^2

I casi possibili sono p = 64 x 63 x 62 x 61 x 60 x 59 x 58 x 57 = D(64,8)

Pr [E*] = f/p = 2.259 * 10^(-10)