[Risolto] Problemi di ottimizzazione con derivate

Mi sembrerebbe più intelligente fare il contrario: prima risolvo il problema e poi ne applico i risultati a tutti gli esercizi che mi pare, mica a uno solo!
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PROBLEMA
In una semiellisse tagliata sull'asse maggiore inscrivere il trapezio di massima area e determinarne l'altezza.
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Sull'ellisse, con semiassi a > b > 0,
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
la retta, con 0 < h < b,
* y = h
stacca la corda PQ di estremi le soluzioni di
* (y = h) & ((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1) & (0 < h < b < a) ≡
≡ P(- (a/b)*√(b^2 - h^2), h) oppure Q((a/b)*√(b^2 - h^2), h)
da cui
* |PQ| = 2*(a/b)*√(b^2 - h^2)
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Il trapezio inscritto ha
* altezza h
* base maggiore 2*a
* base minore 2*(a/b)*√(b^2 - h^2)
* media delle basi (2*a + 2*(a/b)*√(b^2 - h^2))/2 = (a/b)*(√(b^2 - h^2) + b)
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Area
* S(h) = h*(a/b)*(√(b^2 - h^2) + b)
* S'(h) = a + (a/b)*(b^2 - 2*h^2)/√(b^2 - h^2)
* S''(h) = h*(a/b)*(2*h^2 - 3*b^2)/(b^2 - h^2)^(3/2)
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Condizione di massimo
* (S'(h) = 0) & (S''(h) < 0) & (0 < h < b < a) ≡
≡ (a + (a/b)*(b^2 - 2*h^2)/√(b^2 - h^2) = 0) & (h*(a/b)*(2*h^2 - 3*b^2)/(b^2 - h^2)^(3/2) < 0) & (0 < h < b < a) ≡
≡ h = (√3/2)*b
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ESERCIZIO
Specializzare il problema per l'ellisse
* Γ ≡ 9*x^2 + 16*y^2 = 144 ≡
≡ x^2/(144/9) + y^2/(144/16) = 1 ≡
≡ x^2/4^2 + y^2/3^2 = 1 ≡
≡ (x/4)^2 + (y/3)^2 = 1
da cui si ha
* a = 4
* b = 3
* h = (√3/2)*3 = 3*√3/2
* P(- 2, 3*√3/2)
* Q(+ 2, 3*√3/2)

9·x^2 + 16·y^2 = 144

quindi:

x^2/16 + y^2/9 = 1

essendo a^2 = 16 > b^2 = 9

l'asse maggiore dell'ellisse (cioè dove ci sono i fuoci) è disposto lungo l'asse delle x.

Risolvo ora l'equazione in y:

y = - 3·√(16 - x^2)/4 ∨ y = 3·√(16 - x^2)/4

Considero la funzione in grassetto e sfrutto la doppia simmetria rispetto agli assi cartesiani del luogo geometrico in studio.

Faccio quindi riferimento al 1° quadrante e considero il punto di coordinate:

[x, 3·√(16 - x^2)/4] con 0 < x < 4

Quindi ho un mezzo trapezio di area:

Α/2 = 1/2·(4 + x)·3·√(16 - x^2)/4 =f(x)

f(x) = 3·x·√(16 - x^2)/8 + 3·√(16 - x^2)/2

Applico le condizioni necessarie: f'(x)=0

- 3·(x^2 + 2·x - 8)/(4·√(16 - x^2)) = 0 (tralascio i calcoli)

x^2 + 2·x - 8 = 0----> x = -4 ∨ x = 2

Per il valore in grassetto si ottiene:

[2, 3·√(16 - 2^2)/4]-----> per il punto P[2, 3·√3/2]

Quindi 2 funzioni:

y = ± 3·√3/2

che definiscono la corda PQ