Problemi di ottimizzazione

$y(x)=\frac{x^2}{1+x^4}$   

• Dominio = ℝ
• y(x) ≥ 0;  ∀x∈ℝ
• y(x) è una funzione pari
• ${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0}$

$y^{\prime }(x)=\frac{2x(1-x^4)}{(1+x^4{)}^2}$

Per semplicità espositiva consideriamo la funzione nell'intervallo [0, +∞). Lo possiamo fare visto che y(x) è una funzione pari. 

Non possiamo usare Weirestrass essendo ℝ si chiuso ma è non limitato, quindi non è compatto. Non sappiamo così se esistono il minimo e il massimo.

Possiamo però ricorrere al Weirestrass generalizzato. Dalla definizione di limite

Scegliamo $\epsilon =\frac{1}{10},\mathrm{\exists }N>0|\mathrm{\forall }x>N\text{si ha}|f(x)-0|<\epsilon$

cioè $\mathrm{\exists }N>0|\mathrm{\forall }x>N\text{si ha}f(x)<\frac{1}{10}$

Ora consideriamo il problema di ricerca del massimo e del minimo della funzione

$y_1(x)=\frac{x^2}{1+x^4}$   in [0, N]

Questa volta Weirestrass è applicabile. Calcoliamo il minimo e il massimo assoluto di y₁(x)

• Punti singolari
  • Non ci sono punti singolari
• Punti di frontiera
  • y₁(0) = 0      
  • y₁(N) = N²/(1+N⁴)
• Punti stazionari y₁'(x) = 0  ⇒  x = 0 V x = ± 1
  • y₁(0) = 0
  • y₁(1) = 1/2 

Osservando che valgono le diseguaglianza seguenti

0 < N²/(1+N⁴) < 1/2

se ne deduce 

1. minimo y₁ = 0
2. massimo y₁ = 1/2

ma,  si cercava il minimo e il massimo di y(x) non di y₁(x).

Dalla definizione di limite e dalla positività della y(x) sappiamo che  nell'intervallo (N, +∞) valgono

0 < y < 1/10    ∀x∈(N, +∞)

Possiamo così concludere che 

1. minimo y = 0
2. massimo y = 1/2