Problemi di ottimizzazione.

$y(x)=\frac{x^2+1}{x-2}$   definita in [-3, 1]

La funzione razionale fratta è definita, continua e derivabile nell'intervallo [-3, 1].

$y^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x-1}{x-2{)}^2}$

Essendo l'intervallo dove definita un insieme chiuso e limitato (compatto) applicando il teorema di Weirestrass possiamo affermare l'esistenza del massimo e del minimo assoluto.

Per determinarli e sufficiente comparare tra loro i punti stazionari, i valori assunti in frontiera e i valori assunti nei punti singolari (dove non esiste la derivata). Nel nostro caso:

1. Non ci sono punti singolari
2. valori assunti in frontiera
   1. f(-3) = -2
   2. f(1) = -2
3. Valori assunti nei punti stazionari
   1. y'(x) = 0

$x^2-4x-1=0$ 

che ammette due soluzioni:

1. x = 2 + √5 > 4 da scartare essendo fuori dominio
2. x = 2 - √5; Soluzione valida ⇒ f(2-√5) = 4 -2√5 ⋍ - 0,47

Operando il confronto si ha

• minimo = -2
• massimo = 4 -2√5