Problemi di max e min

m>0

Quindi una retta è: y = - 1/m·x che determina l'intersezione A con la parabola

l'altra è: y = m·x che determina l'intersezione B con la parabola

{y = x^2

{y = - 1/m·x

Risolvo ed ottengo: x = - 1/m ∧ y = 1/m^2

A [- 1/m, 1/m^2]

{y = x^2

{y = m·x

Risolvo ed ottengo: x = m ∧ y = m^2

B [m, m^2]

ΑΟ = √((- 1/m)^2 + (1/m^2)^2)

ΑΟ = √(m^2 + 1)/m^2

ΒΟ = √(m^2 + (m^2)^2)

ΒΟ = √(m^2 + 1)·ABS(m) 

Α =area triangolo rettangolo=1/2·ΑΟ·ΒΟ

Α = (m^2 + 1)/(2·ABS(m))

m > 0 : Α = (m^2 + 1)/(2·m)

Il minimo si ha per A'=0

(m^2 - 1)/(2·m^2) = 0---> m = -1 ∨ m = 1

Quindi le due rette: y = ±x

é un minimo:

A''= 1/m^3 >0

Si determinano i punti di intersezione tra tali rette e la parabola di tale equazione:

\[mx = x^2 \iff x(x - m) = 0\,, \qquad -\frac{1}{m}x = x^2 \iff x\left(x + \frac{1}{m}\right) = 0\,.\]

Di conseguenza

\[A = (m,m^2)\,, \qquad B = \left(-\frac{1}{m}, \frac{1}{m}\right)\,, \qquad O = (0,0)\,.\]

L'area del triangolo $AOB$ si calcola tramite la formula matematica

\[\mathcal{A} = \frac{1}{2}\left|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1)\right| = \frac{1}{2}\left|\frac{1}{m} + m\right|\,,\]

tale che minimizzata risulta

\[\frac{d}{dx}\mathcal{A}(m) = -\frac{1}{m^2} + 1 = 0 \iff m^2 = 1 \implies m = 1 \,\because\, m > 0\,.\]

Ergo le rette hanno equazioni

\[y = \pm x\]

e l'area minima è uguale a uno.