Problemi di max e min

y = 4·x - x^2

x = 2 asse della parabola

[x, 4·x - x^2]

coordinate del punto A di figura allegata.:

con riferimento ad essa possiamo dire che:

perimetro=(4 - 2·x)·2 + (- x^2 + 4·x)·2 =

= - 2·(x^2 - 2·x - 4) = p

C.N.: 4·(1 - x) = 0  (cioè p'=0)

x = 1

y = 4·1 - 1^2---> y = 3 si ha il massimo del perimetro

area= (4 - 2·x)·(- x^2 + 4·x) = 2·x^3 - 12·x^2 + 16·x = a

C.N. 6·x^2 - 24·x + 16 = 0  (cioè a'=0)

x = 2 - 2·√3/3 ∨ x = 2·√3/3 + 2

x = 2 - 2·√3/3

y = 4·(2 - 2·√3/3) - (2 - 2·√3/3)^2

y = 8/3 si ha il massimo dell'area

Parte prima

Posto y = k, con k > 0

4x - x^2 = k

x^2 - 4x + k = 0

D = 16 - 4 k >= 0

k <= 4 e     0 < k <= 4

Il lato orizzontale del rettangolo é sqrt(D)/|A| =

= 2 sqrt (4 - k)

e quindi il perimetro é  2k + 4 sqrt (4 - k)

mentre l'area é  2k sqrt (4 - k)

Area : max di S^2 = 4k^2  (4 - k) = 16 k^2 - 4 k^3

Crescenza : 32 k - 12 k^2 >= 0

4k ( 8 - 3 k) >= 0  con k > 0

3k <= 8

k <= 8/3   =>   area massima per k = 8/3;

parte seconda

analogamente P = 2k + 4 sqrt (4 - k)

dP/dk = 2 + 4/(2sqrt(4 - k)) * 1 >= 0

2 - 2/sqrt (4 - k) >= 0

1/sqrt(4 - k) <= 1

sqrt (4 - k) >= 1

4 - k >= 1

- k >= - 3

k <= 3      intervallo di crescenza

il perimetro massimo si ottiene per k = 3

Ti lascio il calcolo dei valori massimi.