Aree, integrali definiti e parametri
Determina per quali valori di $k$ l'area della regione finita di piano individuata dalla retta di equazione $y=k x$ e dalla parabola di equazione $y=3 x^2$ è uguale a 32 .
Con i parametri
Trova per quale valore di $a>0$ il solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse $x$ del trapezoide individuato dalla funzione $y=a x^2$ nell'intervallo $[0 ; 1]$ ha volume $5 \pi$.
$[a=5]$
Si possono usare gli integrali
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Livello 0
Bisogna stare attenti a come piazzare gli estremi di integrazione
Posto k<0
k·x - 3·x^2 = 0-----> x·(k - 3·x) = 0----> x = k/3 ∨ x = 0
Quindi passi all'integrale indefinito:
∫(k·x - 3·x^2)dx = k·x^2/2 - x^3
da valutare fra x=k/3 ed x= 0
k·0^2/2 - 0^3 = 0 (è l'estremo di destra superiore)
k·(k/3)^2/2 - (k/3)^3 =k^3/54 (è l'estremo di sinistra inferiore)
0 - k^3/54 = 32------> k = -12
Per k>0 : gli estremi di integrazione si invertono:
k^3/54 - 0 = 32------> k =12
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Devi valutare:
∫(pi·(a·x^2)^2)dx = pi·a^2·x^5/5
fra x=0 ed x=1
pi·a^2·1^5/5 - pi·a^2·0^5/5 = 5·pi-----> pi·a^2/5 = 5·pi
Quindi: a = -5 ∨ a = 5
(scarto la prima)
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Genius II
A giudicare dal fatto che la stragrande maggioranza delle domande è corredata da almeno una foto presa da un libro adottato direi che la stragrande maggioranza dei richiedenti siano persone istruite e che sono sul cammino per migliorare la propria istruzione.
Constatato ciò, che mi sembra incontrovertibile, mi meraviglio assai nel constatare anche
L'IDIOZIA DI UNA PERSONA ISTRUITA CHE NON CAPISCE UNA MINCHIAZZA
di una prosa così semplice come quella dell'Art. 2 del http://www.sosmatematica.it/regolamento/
«E' POSSIBILE CHIEDERE UN SOLO ESERCIZIO PER VOLTA ed è vietata la ripubblicazione dello stesso (sia se è stato risolto, sia se non è stato risolto).»
Mah, boh, hai visto mai?
Immagino che, non ricevendo al tempo debito gli opportuni rimproveri professorali e scapaccioni familiari, questi poveri disgraziati andranno incontro a dolorose repressioni appena maggiorenni.
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Non mi scuso per lo sfogo/invettiva e ti discuto UN SOLO ESERCIZIO PER VOLTA: il 363 dove si chiede di regolare la pendenza della retta per l'origine y = k*x in modo che tagli un segmento parabolico di area 32 sulla parabola y = 3*x^2 con vertice nell'origine, apertura a = 3 > 0 e quindi concavità verso y > 0.
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Gli estremi della corda delimitante sono le intersezioni
* (y = k*x) & (y = 3*x^2) ≡ O(0, 0) oppure P(k/3, k^2/3)
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L'area S del segmento parabolico è
* S(k) = (|a|/6)*(|xP - xO|)^3 = (3/6)*(|k/3 - 0|)^3 = |k|^3/54
da cui
* |k|^3/54 = 32 ≡ |k|^3 = 1728 = (2^6)*3^3 ≡ |k| = 12 ≡ k = ± 12
che è proprio il risultato atteso.
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D3*x%5E2%2Cy%5E2%3D144*x%5E2%5D
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Genius I
