Problemi di matematica

Il primo

{x + y + 1 = 0

{2·x + y + 2 = 0

fascio determinato da tali rette:

x + y + 1 + k·(2·x + y + 2) = 0

Intersezioni della generica retta con gli assi

Con asse y

{x + y + 1 + k·(2·x + y + 2) = 0

{x = 0

[x = 0 ∧ y = - (2·k + 1)/(k + 1)]

[0, - (2·k + 1)/(k + 1)]

Con asse x

{x + y + 1 + k·(2·x + y + 2) = 0

{y = 0

[x = -1 ∧ y = 0]

[-1, 0]

[0, 0]

Baricentro del triangolo generico

{x = (0 - 1 + 0)/3

{y = (- (2·k + 1)/(k + 1) + 0 + 0)/3

Quindi: 

{x = - 1/3

{y = - (2·k + 1)/(3·(k + 1))

Deve appartenere alla retta: 3·x + 3·y - 5 = 0

quindi deve essere:

3·(- 1/3) + 3·(- (2·k + 1)/(3·(k + 1))) - 5 = 0

1/(k + 1) - 8 = 0

che risolta fornisce: k = - 7/8

quindi:

x + y + 1 + (- 7/8)·(2·x + y + 2) = 0

- (6·x - y + 6)/8 = 0

retta cercata:

6·x - y + 6 = 0----> y = 6·x + 6

Il secondo: punti a,b,c

x + (k + 2)·y + 1 = 0

riscrivo:

k·y + (x + 2·y + 1) = 0

metto a sistema le rette generatrici del fascio e determino il centro del fascio stesso:

{x + 2·y + 1 = 0

{y = 0

risolvo: [x = -1 ∧ y = 0]---> [-1, 0]

Retta del fascio passante per [1, 2]

1 + (k + 2)·2 + 1 = 0---> 2·k + 6 = 0

k = -3 : x + (-3 + 2)·y + 1 = 0

x - y + 1 = 0--> y = x + 1

retta del fascio parallela:

{x + (k + 2)·y + 1 = 0

{3·x - y = 0

I coefficienti delle variabili x ed y devono essere in proporzione:

1/3 = (k + 2)/(-1)---> k = - 7/3

x + (- 7/3 + 2)·y + 1 = 0

x - y/3 + 1 = 0---> y = 3·x + 3