[Risolto] Problemi di massimo e minimo di geometria nel piano

Conviene impostarlo trigonometricamente

indicando con x la misura dell'angolo alla base.

Considerando il triangolo isoscele che ha per lati due raggi ed il lato obliquo,

l'angolo al vertice risulta pi - 2 (pi/2 - x ) = 2x.

L'angolo x varia in [0, pi/2].

Per il teorema di Carnot risulta quindi

L^2 = r^2 + r^2 - 2r * r cos 2x = 2r^2 (1 - cos 2x ) = 2r^2 ^ 2 sin^2 (2x/2) = 4 r^2 sin^2(x)

e allora L = 2r sin x

mentre b/2 = r cos [x - (pi/2 - x)] =>

=>  b = 2r cos (2x - pi/2) = 2r ( 0 + sin pi/2 * sin 2x ) = 2r sin 2x

per cui risulta infine P(x) = 2L + b = 4r sin x + 2r sin 2x = 2r ( 2 sin x + sin (2x) )

con P(0) = 0 e P(pi/2) = 2r * (2 + 0) = 4r

Da qui sai proseguire : devi trovare il massimo assoluto di

2 sin x + sin 2x   in [0; pi/2]

la derivata é 2 cos x + 2 cos 2x

e gli intervalli di crescenza si ottengono ponendo

cos x + cos^2(x) - sin^2(x) >= 0

cos^2(x) - 1 + cos^2(x) + cos x >= 0

2 cos^2(x) + cos x - 1 >= 0

cos x <= -1   V cos x >= 1/2

Intersecando ( solo il secondo intervallo ) con [0; pi/2]

e ricordando che il coseno é decrescente nel primo quadrante

risulta  0 <= x <= pi/3

e si ha quindi in x = pi/3 un massimo relativo che, dati i valori agli estremi,

risulta anche assoluto, infatti

Pmax = P(pi/3) = 4 r sin pi/3 + 2 r sin (2pi/3) = 6 r sin pi/3 = 6 r rad(3)/2 =

= 3r rad(3) che é maggiore di 4r.

Brava!
Questa sì che è una domanda posta a norma di Regolamento e presentata da persona beneducata.
Un click in su per ringraziarti della cortesia.
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Nella circonferenza di raggio R > 0 si inscrive una corda di lunghezza 2*s (0 < s < R), base del triangolo isoscele di cui si richiede di massimizzare il perimetro.
La variabile del modello da costruire è naturalmente x = s/R (0 < x < 1).
Avendo normalizzato rispetto ad R la circonferenza assume raggio uno e la corda, c = 2*x, dista dal centro
* d = √(1 - x^2)
da cui l'altezza del triangolo
* h = 1 + d = 1 + √(1 - x^2)
e la conseguente funzione da massimizzare (un arco d'ellisse), con le sue due prime derivate
* perimetro p(x) = y = 2*x + 2*√(x^2 + (1 + √(1 - x^2))^2) ≡
≡ y = 2*x + 2*√(2*(1 + √(1 - x^2)))
* p'(x) = 2 - (√2)*x/√((1 - x^2)*(√(1 - x^2) + 1)) = 0 per x = √3/2
* p''(x) = (√(1 - x^2) - 2)*√((1 - x^2)*(√(1 - x^2) + 1))/((√2)*(1 - x^2)^2) < 0 ovunque
quindi c'è un unico massimo con
* x = √3/2
* d = √(1 - (√3/2)^2) = 1/2
* h = 1 + d = 3/2
* p(√3/2) = y = 2*√3/2 + 2*√((√3/2)^2 + (1 + √(1 - (√3/2)^2))^2) =
= 3/√3
cioè sei volte la metà del lato di base.
QED