Problemi di geometria anlitica con i limiti.

y = a·x^2 - 4·a = 1^ parabola

y = a·x^2 - 2·x - a = 2^ parabola

per ognuna di esse si ha:

a ≠ 0

Δ/4 = + 4·a^2 > 0 per la prima

Δ/4 = 1 + a^2 > 0 per la seconda

Quindi sono verificate due intersezioni con asse x per ognuna di esse

Per la prima si ha:

a·x^2 - 4·a = 0--> x = -2 ∨ x = 2 

Per la seconda si ha:

a·x^2 - 2·x - a = 0

x = (1 - √(a^2 + 1))/a ∨ x = (√(a^2 + 1) + 1)/a

base 1° segmento parabolico:  b = 4

base 2° segmento parabolico:

(√(a^2 + 1) + 1)/a - (1 - √(a^2 + 1))/a = 2·√(a^2 + 1)/a

Le altezze dei segmenti parabolici sono determinate dai vertici delle due parabole.

{y = a·x^2 - 4·a

{x = 0   (asse)

si ottiene: [y = - 4·a ∧ x = 0]

{y = a·x^2 - 2·x - a

{x = 1/(2·a)  (asse)

si ottiene: [x = 1/(2·a) ∧ y = - (4·a^2 + 3)/(4·a)]

Area 1° segmento parabolico

Α1 = 2/3·4·ABS(- 4·a)---> Α1 = 32·ABS(a)/3

area 2° segmento parabolico:

Α2 = 2/3·ABS(2·√(a^2 + 1)/a)·ABS(- (4·a^2 + 3)/(4·a))

Α2 = √(a^2 + 1)·(4·a^2 + 3)/(3·a^2)

Rapporto fra le due aree:

32·ABS(a)/3/(√(a^2 + 1)·(4·a^2 + 3)/(3·a^2))

A1/A2 = 32·ABS(a)^3/(√(a^2 + 1)·(4·a^2 + 3))

Il limite:

LIM(32·ABS(a)^3/(√(a^2 + 1)·(4·a^2 + 3))) = 8

a → +∞