Problemi di geometria analitica con parabole

Foto dritta!!

Area parallelogramma colorato in azzurro:

12·8 - 2·((12 - x)·x/2 + (8 - x)·x/2) = 2·x^2 - 20·x + 96

A=2·x^2 - 20·x + 96

a = 2; b = -20; c = 96

Il minimo si ha sull'asse della parabola:

x = - b/(2·a)

x = - (-20)/(2·2)---> x = 5 cm

A min= 2·5^2 - 20·5 + 96---> A min = 46 cm^2

Area (ABCD) = 12 * 8 = 96 cm^2;

Area triangoli gialli;

A1 (APS) = (8 - x) * x/2;

A2 (DSR) = (12 - x) * x / 2;

Area  dei quattro triangoli:

2 A1 + 2 A2 = (8 - x) * x + (12 - x) * x =

= 8x - x^2 + 12x - x^2 = 20 x - 2x^2; Area  dei quattro triangoli;

Area (PQRS) = 96 - (20 x - 2x^2); (Area =  y);

y = 2x^2 - 20 x + 96; parabola; y = a x^2 + bx + c;

minimo della parabola, nel vertice  x = - b/2a):

4x - 20 = 0;

x = 20/4 = 5 cm;

y minimo = Area minima di PQRS:

A minima = 2 * 5^2 - 20 * 5 + 96 ;

A minima = 50 - 100 + 96 = 46 cm^2.

Ciao @una-ragazza-dello-scientifico

Per risolvere il problema, dobbiamo calcolare l'area del parallelogramma \( PQRS \) utilizzando le informazioni fornite.

1. **Identificazione dei punti**:

   - I punti \( P, Q, R, S \) sono i vertici del parallelogramma.

   - \( A, B, C, D \) sono i vertici del rettangolo.

2. **Dimensioni**:

   - Il rettangolo \( ABCD \) ha lunghezze \( AB = 12 \, \text{cm} \) e \( BC = 8 \, \text{cm} \).

3. **Area del rettangolo \( ABCD \)**:

   \[

   \text{Area}_{ABCD} = AB \times BC = 12 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} = 96 \, \text{cm}^2

   \]

4. **Determinare l'area del parallelogramma \( PQRS \)**:

   L'area del parallelogramma può essere calcolata utilizzando la formula:

   \[

   \text{Area}_{PQRS} = \text{base} \times \text{altezza}

   \]

   La base è la lunghezza di \( QR \) e l'altezza è la distanza tra \( PQ \) e \( RS \).

   Sappiamo che il parallelogramma è inscritto nel rettangolo. La base \( QR \) può essere presa come 12 cm (la stessa lunghezza di \( AB \)) e l'altezza è 8 cm, poiché il parallelogramma copre l'intera altezza del rettangolo.

5. **Calcolo finale**:

   \[

   \text{Area}_{PQRS} = 12 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} = 96 \, \text{cm}^2

   \]

Quindi, il **minimo valore dell'area del parallelogramma \( PQRS \)** è **96 cm²**.

L'area del parallelogramma interno é esprimibile come

S(x) = 12*8 - 2 * 1/2 x (12 - x) - 2 * 1/2 x (8 - x)   con 0 < x < 8

S(x) = 96 - 12x + x^2 - 8x + x^2 =

= 2x^2 - 20x + 96

Se hai studiato la parabola sai che y = 2x^2 - 20x + 96 ha il minimo nel vertice

per cui x_min = - b/(2a) = 20/4 = 5

e S_min = 2*25 - 20*5 + 96 = 50 - 100 + 96 = 46