Problemi di geometria analitica con i limiti.

A [-2, 0]

B [2, 0]

b = 0: y = a·x^2 + c

0 = a·2^2 + c--> 0 = 4·a + c--> c = - 4·a

y = a·x^2 - 4·a

{y = a·x^2 - 4·a

{y = - 4·(x - 2)

a·x^2 - 4·a + 4·(x - 2) = 0

a·x^2 + 4·x - 4·a - 8 = 0

condizione di tangenza: Δ/4 = 0

2^2 + a·(4·a + 8) = 0

4·a^2 + 8·a + 4 = 0--> 4·(a + 1)^2 = 0

a = -1

y = (-1)·x^2 - 4·(-1)----> y = 4 - x^2

V [0, 4]

P [[0, t]

B [2, 0]

ΡΒ = √(t^2 + 4)

ΡV = 4 - t > 0 se sotto il vertice V

ΡV = t - 4 > 0 se sopra il vertice V

√(t^2 + 4) - (4 - t) = √(t^2 + 4) + t - 4 se sotto il vertice V

√(t^2 + 4) - (t - 4) = √(t^2 + 4) - t + 4 se sopra il vertice V

Quindi i limiti:

LIM(√(t^2 + 4) + t - 4)= -4

t---> -∞

LIM(√(t^2 + 4) - t + 4) = 4

t---> +∞

0.  Equazione parabola.

• Asse di simmetria parallela all'asse delle ordinate ⇒  equazione del tipo y=ax²+bx+c
• Passa per A(-2, 0) e per B(2, 0) valgono le due equazioni
  • • 4a-2b+c = 0
    • 4a+2b+c = 0  ⇒ b = 0  ∧  c = - 4a

L'equazione si riduce alla forma  y = ax² - 4a

Applichiamo la formula di sdoppiamento per il calcolo della tangente nel punto B(2, 0)

$ \frac{y}{2} = 2ax - 4a \; ⇒ \; y = 4ax - 8a.

Confrontata con la retta tangente data y = -4x + 8 ci permette di concludere che a = -1.

L'equazione della parabola è così $ y = 4 - x^2}

b. 

Riporto il disegno di quanto conosciuto sino a questo momento

Con Pitagora valutiamo le distanze $ \bar{PB}; \bar{PV} $

• $\bar{PB} = \sqrt{t^2+4} $
• $\bar{PV} = 4-t $ 

per cui

$ \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \sqrt{t^2+4} -t+4 = $

Razionalizziamolo

$ \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \frac{t^2+4 (-t+4)^2}{\sqrt{t^2+4} +t-4} = $

$ \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \frac{8t+20}{\sqrt{t^2+4} +t-4} = $

dividiamo sopra e sotto per t

$ \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \frac{8+\frac{20}{t}}{\sqrt{1+\frac{4}{t^2}} +1-\frac{4}{t}} =  \frac{8}{2} = 4$ 

La risposta all'ultima domanda è di fatto la ripetizione della precedente.