[Risolto] Problemi di fisica

Nel momento in cui la pallina è in quiete rispetto alla guida, dunque si trova ad un angolo fisso $\theta$, compie un moto circolare seguendo la traiettoria indicata nel disegno della tua figura dal cerchio orizzontale tratteggiato.

Detto $\theta$ l'angolo di equilibrio dinamico, il raggio della circonferenza percorsa è $R=rsin\theta$.

In questo moto, la pallina è soggetta alla forza peso e alla forza centripeta. Se la risultante delle due forze ha una componente che è diretta nella direzione tangenziale, la pallina accelera in quella direzione. 

L'unico caso in cui la pallina non si muove è se la risultante delle forze è diretta in senso radiale, in modo che non essendoci alcuna forza tangenziale, la pallina è costretta a "spingere" contro la guida, senza potersi spostare.

Per chiarezza nella figura puoi vedere che nel punto in basso, la risultante delle forze "w" farebbe scendere la pallina lungo la guida, mentre nel punto in alto a destra la risultante non ha componenti nella direzione tangente, ma solo lungo la perpendicolare alla guida. Essendo la pallina vincolata a stare sulla guida, la reazione vincolare andrebbe a compensare la forza che punta verso il centro della guida e la pallina rimarrebbe ferma.

Consideriamo dunque un sistema di riferimento centrato nella pallina e con assi diretti nella direzione tangente e perpendicolare alla guida:

La forza peso, di modulo $P=mg$, lungo gli assi scelti avrà componenti:

$ P = (mg cos\theta, -mg sin\theta)$

Invece la forza centripeta, di modulo $F_c = m \omega^2 R$ ha componenti:

$ F_c = (m \omega^2 R cos(90-\theta), m \omega^2 R sin(90-\theta) = (m \omega^2 R sin\theta, m \omega^2 R cos\theta)$

La risultante è dunque:

$ F = (mg cos\theta + m \omega^2 R sin\theta, -mg sin\theta+m\omega^2 R cos\theta)$

Come abbiamo detto, vogliamo fare in modo che la risultante non abbia direzione tangenziale (dunque il nostro asse y), ma solo perpendicolare. Quindi dobbiamo fare in modo che la componente y sia nulla:

$ F_y = -mg sin\theta+m\omega^2 R cos\theta = 0$ 

Ricordiamo che $R=rsin\theta$ quindi:

$ -mg sin\theta + m\omega^2 r sin\theta cos\theta =0$

possiamo semplificare le masse e mettere in evidenza:

$ sin\theta(-g+\omega^2 rcos\theta) = 0$

Otteniamo dunque come soluzioni:

$ sin \theta = 0$ -> $\theta = 0$ o $\theta = \pi$ 

Queste erano soluzioni banali: in questo caso infatti la pallina non ruota affatto (rimane ferma nel punto più in basso o più alto della guida e ruota solo su se stessa).

Inoltre abbiamo:

$ -g + \omega^2 r cos\theta = 0$

$ \theta = arccos(\frac{g}{r\omega^2})$

Nota che in ogni caso l'angolo non dipende dalla massa della pallina, ma solo dalla frequenza di rotazione e dal raggio.

Andiamo a calcolare l'angolo nel caso (b), in cui $r= 0.25 m$ e sapendo che $f=2.00 Hz$ ricaviamo:

$\omega = 2\pi f = 4\pi rad/s$

Quindi otteniamo:

$ \theta = arccos(\frac{9.81 m/s^2}{0.25 m * (4\pi rad/s)^2)} = arccos(0.248) = 75.6°$

Quest'angolo è calcolato come in figura partendo dal centro della guida.

Se vogliamo calcolarlo dal basso, come nel testo, dobbiamo fare:

$ \theta_2 = 180-75.6 = 104.4 °$

Passiamo all'ultimo punto. Immaginiamo di far partire la pallina da $\theta = 90°$ (secondo la notazione del testo, quindi dal basso).

Ragioniamo sull'energia, stabilendo come livello zero proprio metà griglia. 

In questo momento l'energia della pallina è pari alla sola energia cinetica rotazionale, avendo assunto $h=0$:

$ E_1 = 1/2 I \omega^2 = 1/2 mr^2 \omega^2$

essendo $r$ esattamente il raggio della circonferenza.

Nel punto individuato dall'angolo di equilibrio dinamico $\theta$ (nota che uso l'angolo calcolato da sopra, quindi 75°), l'energia meccanica è data dalla somma di energia potenziale gravitazionale all'altezza $h$ (con h distanza da metà guida) e energia cinetica rotazionale.

$ E_2 = mgh + 1/2 I \omega^2 = mgh + 1/2 mR^2 \omega^2 = mgh + 1/2 m(rsin\theta)^2 \omega^2 = mgh + 1/2 mr^2 sin^2\theta \omega^2$

Dato che non ci sono forze in gioco, l'energia dovrebbe conservarsi cioé:

$ 1/2 mr^2 \omega^2 = mgh + 1/2 mr^2 sin^2\theta \omega^2$

risistemiamo come:

$ 1/2mr^2 \omega^2 (1-sin^2 \theta) = mgh$

Notiamo che $h=rsin(90-\theta) = rcos\theta$ e che $1-sin^2\theta = cos^2\theta$, quindi:

$ \frac{1}{2} mr^2 \omega^2 cos^2 \theta = mgr cos\theta$

Possiamo semplificare:

$ \frac{1}{2}r \omega^2 cos \theta = g $

Inoltre abbiamo che $cos\theta = \frac{g}{r\omega^2}$:

$ \frac{1}{2}r \omega^2 \frac{g}{r\omega^2} = g $

E semplificando ancora:

$ \frac{g}{2} = g$

Purtroppo quindi l'energia non si conserva e dunque questo spostamento è impossibile, a meno che non interveniamo con una forza dall'esterno.

Bell'esercizio, grazie!!

Noemi

la pallina ferma,  deve girare sulla circonferenza tratteggiata di raggio R =  r sen(theta);

F centripeta = m * omega^2 * R = m  omega^2 * r sen(theta);

F peso = m * g;

F centripeta = m * g * tan(theta) = m g sen(theta) / cos(theta);

m  omega^2 * r sen(theta) = m g sen(theta) / cos(theta);

semplificando m sen(theta):

omega^2 * r =  g / cos(theta);

cos(theta) = g / (omega^2 * r);

omega = 2 pigreco * f;

cos(theta) = g / [(2 pigreco * f )^2* r];

se f = 2,00 Hz;  r = 0,25 m;

cos(theta) = 9,81 / [(6,28 * 2,00)^2 * 0,25] = 9,81 / (157,75 * 0,25);

cos(theta) = 9,81 / 39,438 = 0,249,

theta = arcos(0,249) = 75,6° ;

cos90° = 0.

 cos(theta) =  g / [(2 pigreco * f )^2* r] = 0,

il rapporto non può diventare 0; il denominatore dovrebbe tendere all'infinito.