[Risolto] Problemi derivate

@georgiana

Ciao.

Determina l'equazione della funzione polinomiale di terzo grado, dispari, il cui grafico passa per il punto P(-1;-2) e ha in questo punto tangente parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. 

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In base al testo la funzione deve essere del tipo:

y = a·x^3 + b·x   STOP!

ed ha derivata: y'=3·a·x^2 + b

Il passaggio per P(-1,-2) fornisce una condizione; 

y'= m=1 fornisce la seconda (sempre per P)

Quindi:

{-2 = a·(-1)^3 + b·(-1)

{3·a·(-1)^2 + b = 1

Quindi

{a + b = 2

{3·a + b = 1

Risolvi ed ottieni: [a = - 1/2 ∧ b = 5/2]

Quindi la cubica ha equazione: y = (- 1/2)·x^3 + 5/2·x

cioè: y = 5·x/2 - x^3/2

LO CREDO BENE CHE NON SAPRESTI COME ANDARE AVANTI, perché non è facile andare avanti da un punto che un avanti non ce l'ha: dal bordo di uno strapiombo i soli passi sicuri sono quelli all'indietro.
"mettere a sistema la bisettrice e la retta tangente" vuol dire affrontare la ricerca dei loro punti in comune, mentre la specificazione di "tangente parallela alla bisettrice" impone di cercare quell'unica tangente che di punti comuni non ne abbia: parallela vuol dire proprio "con eguale pendenza e senza punti comuni".
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La funzione polinomiale di grado tre
* p(x) = y = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
somma fra la sua parte dispari
* pd(x) = a*x^3 + c*x
e la sua parte pari
* pp(x) = b*x^2 + d
è dispari se e solo se la sua parte pari è identicamente nulla, cioè
* (b*x^2 + d ≡ 0) → b = d = 0
quindi la funzione è
* p(x) = y = a*x^3 + c*x
con pendenza
* m(x) = dy/dx = 3*a*x^2 + c
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La retta bisettrice dei quadranti dispari, y = x, ha pendenza uno.
Pertanto, per la tangenza in P(- 1, - 2), occorre che p(x) ci passi e che ci passi con pendenza uno; quindi
* (p(- 1) = - 2 = a*(- 1)^3 + c*(- 1)) & (m(- 1) = 1 = 3*a*(- 1)^2 + c) ≡
≡ (- 2 = - a - c) & (1 = 3*a + c) ≡
≡ (a = - 1/2) & (c = 5/2)
da cui
* p(x) = y = (5 - x^2)*x/2