Data la circonferenza di equazione $x^2+y^2-6 x=0$ : a. rappresentala graficamente; b. determina le equazioni delle rette parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, ciascuna delle quali stacca sulla circonferenza una corda $A B$ di lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa; c. considerata una delle due rette di cui al punto precedente, determina l'area del segmento circolare limitato dalla circonferenza e dal minore dei due archi $\overparen{A B}$. b. $y=x-3 \pm \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ c. $\left.\frac{3}{2} \pi-\frac{9}{4} \sqrt{3}\right]$
b. Equazioni rette fascio improprio con caratteristiche descritte dal testo
b.1 Equazione fascio rette parallele alla bisettrice del 1°-3° quadrante. y = x + k, k∈ℝ
b.2 Punti di intersezione A, B retta generica del fascio con la circonferenza. Si tratta di risolvere il sistema
$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2 &= 6x\\ y &= x+k \end{aligned}\right.$
le cui due soluzioni sono:
$x_{1,2} = \frac{1}{2}(3-k ± \sqrt{-k^2-6k+9})$
che introdotte nell'equazione della retta ci permettono di valutare le corrispondenti $y_{1,2}$. Rinominando gli indici, le coordinate dei punti A, B saranno:
Usando la formula della distanza tra due punti (per semplicità di calcolo usiamo il quadrato) e imponendo che la distanza sia eguale al raggio (anch'esso al quadrato).
[In altre parole applichiamo Pitagora]
$d_{A,B} = (x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 = 9$
Con pochi calcoli e qualche semplificazione si ottiene
$2k^2+12k-9 = 0$
Le cui due radici sono $k = -3 ± \frac{3\sqrt{6}}{2}$
a cui corrispondono le due rette:
$y = x -3 - \frac{3 \sqrt{6}}{2}$
$y = x -3 + \frac{3 \sqrt{6}}{2}$
.
c. Area Segmento circolare.
La figura e i dati sinora trovati mi richiamano alla mente l'esagono inscritto nella circonferenza.
In questo caso l'area del segmento circolare è data dalla differenza, dell'area del settore circolare avente come angolo al centro 60°, con l'area del triangolo equilatero di lato l pari al raggio l = r, per cui
i) Superficie settore circolare, $S_s = \frac{S_c}{6} = \frac {3π}{2}$
La circonferenza * Γ ≡ x^2 + y^2 - 6*x = 0 ≡ (x - 3)^2 + y^2 = 9 ha * centro C(3, 0) * raggio R = 3 ------------------------------ La corda lunga quanto il raggio R è il lato dell'esagono regolare inscritto, quindi dista dal centro quanto l'inraggio r = (√3/2)*R e delimita il segmento circolare minore di area S pari a un sesto della differenza fra quella del cerchio di raggio R (π*R^2) e quella dell'esagono ((3*√3/2)*R^2) S = (π*R^2 - (3*√3/2)*R^2)/6 = (π/6 - √3/4)*R^2 = (π/6 - √3/4)*9 ~= 0.815 ------------------------------ Le rette richieste sono le tangenti di pendenza uno alla circonferenza Γ' concentrica a Γ di raggio r * Γ' ≡ (x - 3)^2 + y^2 = 27/4 quindi il sistema * (y = x + q) & ((x - 3)^2 + y^2 = 27/4) deve avere la risolvente * (x - 3)^2 + (x + q)^2 - 27/4 = 0 ≡ ≡ x^2 + (q - 3)*x + (4*q^2 + 9)/8 = 0 con discriminante nullo * Δ(q) = 27/2 - (q + 3)^2 = 0 ≡ ≡ q = - 3*(1 ± √(3/2)) da cui * y = x - 3*(1 ± √(3/2)) che è proprio il risultato atteso.
