Considera la circonferenza di equazione $x^2+y^2-4 x-8 y=0$. a. Rappresentala graficamente. b. Determina le equazioni delle rette parallele alla retta $y=2 x$, ciascuna delle quali stacca sulla circonferenza una corda $A B$ di lunghezza uguale al lato di un quadrato inscritto nella circonferenza. c. Considerata una delle due rette di cui al punto precedente, determina l'area del segmento circolare limitato dalla circonferenza e dal maggiore dei due archi $\overparen{A B}$. [b. $y=2 x \pm 5 \sqrt{2}$; c. $15 \pi+10$ ]
Valori caratteristici del quadrato inscritto alla circonferenza
a.4 Lato. l = r√2 = 2√10
a.5 Lato al quadrato. l² = 40
.
b. Equazioni rette fascio improprio con caratteristiche descritte dal testo
b.1 Equazione fascio rette parallele alla retta data. y = 2x + k, k∈ℝ
b.2 Punti di intersezione A, B retta generica del fascio con la circonferenza. Si tratta di risolvere il sistema
$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2 &= 4x+8y\\ y &= 2x+k \end{aligned}\right.$
le cui due soluzioni sono:
$x_{1,2} = \frac{1}{5}(10-2k ± \sqrt{100-k^2})$
che introdotte nell'equazione della retta ci permettono di valutare le corrispondenti $y_{1,2}$. Rinominando gli indici, le coordinate dei punti A, B saranno:
Usando la formula della distanza tra due punti (per semplicità di calcolo usiamo il quadrato) e imponendo che la distanza sia eguale al lato (anch'esso al quadrato).
La superficie del segmento circolare delimitato dal massimo arco $\overparen{AB}$ è data dalla somma della superficie di tre/quarti della superficie del cerchio e di un quarto della superficie del quadrato.
i) Superficie del quadrato $S_q = l^2 = 40 \quad \implies \quad \frac{S_q}{4} = 10$
ii) Superficie del cerchio $ S_c = 20π \quad \implies S_{3c/4} = 15π$
iii) Superficie del segmento circolare limitato dalla circonferenza e dal maggiore dei due $\overparen{AB} = 15π + 10$
