[Risolto] Problemi con equazioni di secondo grado

La differenza di età di 2 fratelli è 7 anni  mentre la somma delle loro età è uguale a quella della madre diminuita di 15 anni. La differenza fra il quadrato dell'età della madre e la somma dei quadrati di quelle dei figli è uguale a 1263.

Trova le tre età

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Età del figlio maggiore $= x$;

età del figlio minore $= x-7$;

età della madre $= x+x-7+15 = 2x+8$;

equazione:

$(2x+8)^2-[x^2+(x-7)^2] = 1263$

$4x^2+32x+64-[x^2+x^2-14x+49] = 1263$

$4x^2+32x+64-[2x^2-14x+49] = 1263$

$4x^2+32x+64-2x^2+14x-49 = 1263$

$2x^2+46x+15 = 1263$

$2x^2+46x = 1263-15$

$2x^2+46x = 1248$

$x^2+23x = 624$

$x^2+23x-624 = 0$

$a=1$;

$b=23$;

$c=-624$;

$∆= 23^2-(4·1·-624) = 529-(-2496) = 529+2496 = 3025$;

$x_{1,2}= \dfrac{-b±\sqrt{∆}}{2·a} =\dfrac{-23±\sqrt{3025}}{2·1} = \dfrac{-23±55}{2}\,$;

risultati:

$x_1= \dfrac{-23-55}{2} = -39$ (non accettabile perché negativo);

$x_2= \dfrac{-23+55}{2} = 16$ 

quindi le tre età risultano:

età del figlio maggiore $= x= 16~anni$;

età del figlio minore $= x-7 = 16-7 = 9~anni$;

età della madre $= 2x+8 = 2×16+8 = 40~anni$.

Verifica:

$40^2-(16^2+9^2) = 1600-(256+81) = 1600-337 = 1263$ (qed).