problemi con equazioni

Mi potete spiegare da dove si prende il 2x come risultato della parentesi (x+1)^2?

x(x-1)=(x+1)^2-22

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$(x+1)^2$ è un quadrato di binomio che si sviluppa sul seguente esempio:

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ $\quad ^{(1)}$

cioè, il quadrato dl primo termine più il doppio prodotto dei due termini + il quadrato del secondo termine, per cui nel tuo caso:

$(x+1)^2 = x^2+2·1·x+1^2 = x^2+2x+1$ ecco da dove viene il $2x$;

ora andiamo alla tua equazione:

$x(x-1)=(x+1)^2-22$

$x^2-x = x^2+2x+1 -22$

$x^2-x = x^2+2x -21$

raggruppa a sinistra i valori con incognita e a destra i valori noti ricordando di cambiare il segno se passi l'uguale:

$\cancel{x^2}-\cancel{x^2}-x-2x = -21$

i due $x^2$ si eliminano avendo il segno opposto:

$-3x = -21$

dividi ambo le parti per $-3$ in modo di isolare l'incognita:

$\dfrac{\cancel{-3}x}{\cancel{-3}} = \dfrac{\cancel{-21}^7}{\cancel{-3}_1}$

$x= 7$

Note:

$^{(1)}$ Se il quadrato di binomio avesse segno meno lo sviluppo diventa:

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

La legge dell'annullamento del prodotto dice che se un prodotto è uguale a zero almeno uno dei fattori è uguale a zero, quindi:

intanto l'equazione n° 202:

$(x-3)(x+6) =0$

poni prima un fattore e poi l'altro uguali a zero e operi come segue:

1)

$x-3 = 0$

$x= 3$

2)

$x+6 = 0$

$x= -6$

per cui risulta:

$x= 3;$

$x= -6$

$2x(x+5) = 0$

come il precedente poni i due fattori uno per volta uguali a zero come segue:

1° fattore:

$2x= 0$

$\dfrac{\cancel2x}{\cancel2} = \dfrac{0}{2}$

$x= 0$

2° fattore:

$x+5= 0$

$x= -5$

per cui risulta:

$x= 0 \lor x= -5$

$x(x+6)(x-6) =0$

qui hai tre fattori da uguagliare a zero:

1° $x= 0;$

2° $x+6 = 0 → x= -6;$

3° $x-6 = 0 → x=6;$

per cui:

$x=0 \lor x\pm6$

$4x^3(x-4) =0$

1°

$4x^3= 0 → \dfrac{4x^3}{4} = \dfrac{0}{4}→ x = 0;$

2° 

$x-4 = 0→ x= 4;$

$x=0 \lor x= 4$

$(-7-x)(x^2-1) = 0$

1°

$-7-x = 0→ -x = 7→ x=-7;$

2°

$x^2-1=0→x^2=1→\sqrt{x^2} = \sqrt1→x= \pm1$

quindi:

$x=-7 \lor x=\pm1$

$x^3-9x=0$

$x(x^2-9) = 0$

$x(x-3)(x+3)=0$

ora hai tre fattori da uguagliare a zero:

1°) $x=0;$

2°) $x-3=0→x=3;$

3° $x+3=0→ x= -3;$

per cui:

$x=0 \lor x=\pm3$

$x^2-5x+6 = 0$

$(x-3)(x-2)=0$

quindi:

1°) $x-3=0 → x=3;$

2°)  $x-2=0 → x= 2;$

risultato:

$x=3 \lor x=2$