Problemi che conducono al calcolo dei Limiti.

L'equazione della retta tangente a una funzione in un suo punto $a$ è:

$y-f(a)= f'(a)(x-a)$

Nel nostro caso abbiamo:

$f(a)= a^2$

$f'(x)=2x$ dunque $f'(a)=2a$

Sostituendo, otteniamo la tangente:

$ y-a^2 = 2a(x-a)$

$ y-a^2 = 2ax -2a^2$

$ y = 2ax -a^2$

Per quanto riguarda la normale, il coefficiente angolare è l'antireciproco:

$ m = -\frac{1}{f'(a)}$

Dunque abbiamo:

$ y-a^2 = -\frac{1}{2a}(x-a)$

$ y -a^2 = -\frac{x}{2a} + \frac{1}{2}$

$ y = -\frac{x}{2a} +a^2+ \frac{1}{2}$

Calcoliamo ora le due intersezioni.

A è il punto di $t$ con ordinata nulla, essendo sull'asse x:

$ y = 2ax -a^2$

$ 0 = 2ax -a^2$

da cui

$ x = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2}$

cioè $A(\frac{a}{2}, 0)$

Analogamente B è il punto di $n$ con ascissa nulla:

$ y = -\frac{x}{2a} +a^2+ \frac{1}{2}$

$ y = 0+a^2+ \frac{1}{2}$

cioè $B(0, a^2+ \frac{1}{2})$

Ecco un grafico dei triangoli PAB e AOB per un punto P generico sulla parabola.

Il triangolo PAB è rettangolo in P essendo $t$ ed $n$ tra loro perpendicolari per costruzione, così come il triangolo AOB, rettangolo in O.

Calcoliamo le aree trovando le lunghezze dei cateti, in funzione di $P(a, a^2)$:

$\overline{AP}=\sqrt{(\frac{a}{2}-a)^2+(0-a^2)^2}= \sqrt{\frac{a^2}{4}+a^4} =
\sqrt{\frac{a^2+4a^4}{4}} =
\frac{a}{2}\sqrt{1+4a^2}$

$\overline{BP}=\sqrt{(0-a)^2+(a^2+ \frac{1}{2}-a^2)^2}=
\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}=
\sqrt{\frac{4a^2+1}{4}}=
= \frac{\sqrt{4a^2+1}}{2}$

$\overline{OA}=\frac{a}{2}$

$\overline{OB}=a^2+ \frac{1}{2}$

Quindi:

$A(APB)= \frac{\frac{a}{2}\sqrt{1+4a^2} \cdot \frac{\sqrt{4a^2+1}}{2}}{2}=\frac{(4a^2+1)a}{8}$

e

$A(AOB))=\frac{\frac{a}{2}\cdot (a^2+ \frac{1}{2})}{2} = \frac{a(2a^2+1)}{8}$

Otteniamo il rapporto, semplificando i termini comuni:

$ frac{A(APB)}{A(AOB)} = \frac{4a^2+1}{2a^2+1}$

e facendo il limite:

$lim_{a\rightarrow +\infty}\frac{4a^2+1}{2a^2+1} = \frac{4}{2} = 2$

Noemi