Problemi che conducono al calcolo dei Limiti.

a.   Equazione della parabola.

• Asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate ⇒ y = ax²+bx+c
• Sostituiamo nell'equazione generale della parabola le coordinate dei tre punti otteniamo così il sistema

$ \left\{\begin{aligned} c &= 0 \\16a+4b+c &= 0 \\25a+5b+c&=5 \end{aligned} \right. $

le cui soluzioni sono a = 1  ∧  b = -4  ∧   c = 0

L'equazione della parabola sarà quindi $ y = x^2 -4x $

b. 

• la retta r: ha equazione y = x    (passa per O(0,0) e B(5, 5)) è la bisettrice.
• la retta s: ha equazione y = 5    (// all'asse delle x e passa per B(5,5))
• il punto P ha coordinate $P(x_P, x_P^2-4x_P) $  (deve giacere sulla parabola)
• il punto K ha coordinate $K(x_P, 5)$
• calcoliamo le coordinate del punto H
  • • H è l'intersezione della retta r: con la sua perpendicolare passante per P
    • La generica perpendicolare a r: avrà equazione y = -x + q
    • quella passante per P avrà un q pari a
      • • $ x_P^2-5x_P = x_P + q \; ⇒ \; q = x_P^2-5x_P
        • la sua equazione sarà $y = -x + x_P^2-5x_P$
    • le coordinate di H sono $H(x_P^2-5x_P, x_P^2-5x_P)$
• Calcoliamo PH = \sqrt{2} \cdot x_P^2-5x_P   (si tratta della diagonale di un quadrato, vedi grafico)
• Calcoliamo PK = 5 - y_P = 5-x_P^2+4x_P

c.  Calcoliamo il limite. Eliminiamo il suffisso $_P$

$ \displaystyle\lim_{x \to 5} \frac{5x-x^2}{5-x^2+4x} = $ 

forma indeterminata del tipo 0/0

$ \displaystyle\lim_{x \to 5} \frac{x(5-x) }{(x+1)(5-x)} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to 5} \frac{x}{x+1} = \frac{5}{6}$