Problemi che conducono al calcolo dei Limiti.

y = x^2 - 2x;

xp = 4;

yp = 4^2 - 2 * 4 = 8;

P(4; 8)

il coefficiente angolare della retta tangente è la derivata prima della funzione y(x);

y'(x) = 2x - 2;

per x = 4:

m = 2 * 4 - 2 = 6; coefficiente angolare;

retta y = 6x + q;

intersezione della retta con la parabola, deve avere un solo punto di contatto,(punto di tangenza):

y = x^2 - 2x;

y = 6x + q;

x^2 - 2x = 6x + q;

x^2 - 8x - q = 0;

x = + 4 +- radice(16 + q);

16 + q = 0;

q = - 16;

retta tangente in P (4 ; 8) :  

 y = 6x - 16;

b)

Punto Q (xq; yq); punto della parabola;

xq = x; yq = x2 - 2x;

m = (yq - yp) /(xq - xp)

m = (x^2 - 2x - 8) /(x - 4);

scomponiamo (x^2 - 2x - 8) = 0;

x = + 1 +- radice(1 + 8) = 1 +- 3;  

x1 = 1 + 3 = 4;  x2 = 1 - 3 = - 2;

m = (x^2 - 2x - 8) /(x - 4) =  (x - 4) * (x + 2) / (x - 4);

m = x + 2;

per x che tende a 4,  m = x + 4 = 6, coefficiente nel punto P(4 ; 8) già trovato al punto a).

Ciao @alby

a.  Equazione della retta tangente in P

• Coordinate di P(4,?)
  • • $y_P = x_p^2 - 2x_p = 16-8 = 8 $ 
    • P(4,8)
• Coefficiente angolare della retta tangente in P(4, 8)
  • • derivata prima. y'(x) = 2x-2
    • derivata prima in P. y'(4) = 6
    • coefficiente angolare retta tangente in P. m=y'(4) = 6
• Equazione retta tangente. $y+y_P = m\cdot (x - x_P) \; ⇒ \; y = 6x-16 $

b.   Coefficiente angolare retta secante PQ

• Coordinate punto Q. Q(x, x²-2x) con x > 0  
• coefficiente angolare secante. $ m_{PQ} = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q} $
• limite del coefficiente angolare della secante per Q → P

$ \displaystyle\lim_{x \to 4} m_{PQ} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{8-x^2+2x}{4-x} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to 4} -\frac{(x-4)(x+2)}{4-x} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to 4} (x+2) = 6 $

Ovviamente coincidono.