Problemi che conducono al calcolo dei Limiti.

Ho disegnato il quadrato con il lato A B in basso e DC in alto, e il segmento PB.

Applicando Il teorema di Pitagora si ottiene:

• $ \hat{PD} = \sqrt{(a+x)^2+a^2} = \sqrt{x^2+2ax+2a^2} $
• $ \hat{PC} = \sqrt{x^2+a^2} $

Passiamo al calcolo del limite

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2ax+2a^2} - \sqrt{x^2+a^2} = $

Razionalizziamo moltiplicando e dividendo per $\sqrt{x^2+2ax+2a^2} + \sqrt{x^2+a^2}$ 

$ = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2+2ax+a^2-x^2+a^2}{\sqrt{x^2+2ax+2a^2} + \sqrt{x^2+a^2}} $ =

$ = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2ax+2a^2}{\sqrt{x^2+2ax+2a^2} + \sqrt{x^2+a^2}} $ =

dividiamo numeratore e denominatore per x

$ = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2a+\frac{2a^2}{x}}{\sqrt{1+\frac{2a}{x} + \frac{2a^2}{x^2}} + \sqrt{1+\frac{a^2}{x^2}}}  = \frac{2a}{2} = a $